小题分项练(2) 导数及应用 (专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

小题分项练(2)　导数及应用 一、单项选择题 1.(2023·天津联考)若函数f(x)=f'(-1)x3-2x,则f(2)的值为(　D　) A.1 B.-1 C.10 D.4 解析　由已知,f(x)=f'(-1)x3-2x,所以f'(x)=3f'(-1)x2-2,所以f'(-1)=3f'(-1)(-1)2-2=3f'(-1)-2,解得f'(-1)=1,所以函数f(x)=f'(-1)x3-2x=x3-2x,所以f(2)=23-2×2=4。故选D。 2.(2023·广州联考)在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t+11。该运动员在t=1 s时的瞬时速度(单位:m/s)为(　D　) A.10.9 B.-10.9 C.5 D.-5 解析　因为h(t)=-4.9t2+4.8t+11,所以h'(t)=-9.8t+4.8,令t=1,得瞬时速度h'(1)=-9.8+4.8=-5。故选D。 3.(2023·成都摸底)若函数f(x)=x3-3kx+1在区间(1,+∞)上单调递增,则实数k的取值范围是(　B　) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 解析　解法一:由题意得f'(x)=3x2-3k=3(x2-k)≥0在区间(1,+∞)上恒成立,即k≤x2在区间(1,+∞)上恒成立,又函数y=x2在(1,+∞)上单调递增,得x2>1,所以k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1]。故选B。 解法二:取k=2,则f'(x)=3x2-6=3(x2-2)=3(x+)·(x-),所以当1<x<时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(1,)上单调递减,不符合题意,所以k≠2,排除C、D;取k=1,则f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),所以当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以k=1符合题意,排除A,故选B。 4.(2023·河南测试)已知点M在函数f(x)=x3-8x-9的图象上,且在第二象限内,若f(x)的图象在点M处的切线斜率为1,则点M的坐标为(　A　) A.(-3,6) B.(-3,12) C. D.(-2,13) 解析　解法一:设点M(x0,y0),因为f(x)=x3-8x-9,所以f'(x)=x2-8,由-8=1,x0<0,得x0=-3,又f(-3)=6,所以点M的坐标为(-3,6)。故选A。 解法二:因为f(-3)=6,排除B;因为f(-2)=×(-2)3-8×(-2)-9=,排除C,D。故选A。 5.如图是函数f(x)的图象,则函数f(x)的解析式可以为(　D　) A.ex+ln |x| B.e-x+e2x C.x2+ D.x+ 解析　解法一:对于A,f(x)=ex+ln |x|定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)=ex+ln x,则f'(x)=ex+>0,即函数在(0,+∞)上单调递增,故A错误;对于B,f(x)=e-x+e2x定义域为R,且e-x>0,e2x>0,所以f(x)=e-x+e2x>0,故B错误;对于C,f(x)=x2+定义域为{x|x≠0},f'(x)=2x-==,又x2+x+1=+>0,所以当x>时f'(x)>0,当x<0或0<x<时f'(x)<0,即函数在(-∞,0),(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,f(x)=x+定义域为{x|x≠0},f'(x)=1-===,所以当x>或x<0时,f'(x)>0,当0<x<时,f'(x)<0,即函数在(-∞,0),(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减,符合题意。故选D。 解法二:(排除法)当x>0且x→0时,ex→1,ln |x|→-∞,所以f(x)=ex+ln |x|→-∞,观察图象,需排除A;因为e-x+e2x>0,所以f(x)=e-x+e2x的图象都在x轴的上方,排除B;当x→-∞时,x2→+∞,→0,所以f(x)=x2+→+∞,观察图象,排除C。故选D。 6.(2023·扬州调研)已知a=-1,b=tan(-0.1),c=ln 0.9,其中e为自然对数的底数,则(　B　) A.c>a>b B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b 解析　解法一:令g(x)=ex-(x+1),则g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x=0时,g(x)取得最小值,即g(x)≥g(0)=0,所以ex≥x+1,所以a=e-0.1-1>-0.1+1-1=-0.1。因为tan x>x,x∈,所以b=-tan 0.1<-0.1。令φ(x)=x-1-ln x(x>0),则φ'(x)=1