增分专练(20) 极值点偏移问题 (专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

增分专练(二十)　极值点偏移问题 1.已知函数f(x)=ln x-ax2+1。 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x-y=0垂直,求函数f(x)在(0,1)上的最大值; (2)当a=1时,设函数f(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),证明:x1+x2>2。 解　(1)由题意得,函数f(x)=ln x-ax2+1的定义域为(0,+∞),f'(x)=-ax,因为曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x-y=0垂直,所以1-a=-1,解得a=2。令f'(x)=-2x=0(x>0),得x=,当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0。所以函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)在(0,1)上的最大值为f=ln+。 (2)证明:当a=1时,f(x)=ln x-x2+1,定义域为(0,+∞),则f'(x)=。易知函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因为f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),且f(1)>0,所以0<x1<1<x2。令F(x)=f(x)-f(2-x),0<x<1,则F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=+=>0在(0,1)上恒成立,所以F(x)在(0,1)上单调递增,则F(x)<F(1)=0在(0,1)上恒成立,所以f(x1)<f(2-x1),又f(x1)=f(x2),所以f(x2)<f(2-x1),因为x2>1,2-x1>1,f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以x2>2-x1,即x1+x2>2。 2.已知a是实数,函数f(x)=aln x-x。 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个相异的零点x1,x2且x1>x2>0,求证:x1x2>e2。 解　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1=,当a≤0时,f'(x)<0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递减。当a>0时,令f'(x)>0,得x∈(0,a);令f'(x)<0,得x∈(a,+∞),故f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减。综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减。 (2)证明:由(1)可知,要想f(x)有两个相异的零点x1,x2,则a>0,因为f(x1)=f(x2)=0,所以aln x1-x1=0,aln x2-x2=0,所以x1-x2=a(ln x1-ln x2),要证x1x2>e2,即证ln x1+ln x2>2,等价于+>2,而=,所以等价于证明>,即ln>,令t=,则t>1,于是等价于证明ln t>成立,设g(t)=ln t-,t>1,则g'(t)=-=>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,故g(t)>g(1)=0,即ln t>成立,所以x1x2>e2,结论得证。 3.已知f(x)=x2-2aln x,a∈R。若y=f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2)。 (1)求实数a的取值范围; (2)若x0是y=f(x)的极值点,求证:x1+3x2>4x0。 解　(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x-=,要使y=f(x)有两个零点,则a>0,令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0<x<,故f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,依题意需f()=()2-2aln<0,此时1<ln a,故a>e。 (2)证明:因为1<x1<,x2>,令=t(t>1),由f(x1)=f(x2)⇒-2aln x1=-2aln x2,即-2aln x1=t2-2aln tx1⇒=,而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>4⇔(3t+1)2>16a,即(3t+1)2·>16a,由a>0,t>1,只需证(3t+1)2ln t-8t2+8>0,令h(t)=(3t+1)2ln t-8t2+8,则h'(t)=(18t+6)ln t-7t+6+,令n(t)=(18t+6)ln t-7t+6+,则n'(t)=18ln t+11+>0(t>1),故n(t)在(1,+∞)上单调递增,n(t)>n(1)=0,故h(t)在(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=0,所以x1+3x2>4x0。 4.(2023·广州调研)已知函数f(x)=ax-ex2,a>0且a≠1。 (1)设g(x)=+ex,讨论g(x)的单调性。 (2)若a>1且f(x)存在三个零点x1,x2,x3。 (ⅰ)求实数a的取值范围; (ⅱ)设x1<x2<x3,求证:x1+3x2+x3>。 解　(1)由题意知g(x)=+ex=(x≠0),则g'(x)=(x≠0)。当0<a<1时,ln a<0,令g'(x)=0,解得x=。当x>且x≠0时,g'(x)<0;当x<时,g'(x)>0。故函数g(