增分专练(19) 导数与函数的单调性、极值与最值 (专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

增分专练(十九)　导数与函数的单调性、极值与最值 A级　基础达标 一、单项选择题 1.函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　B　) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 解析　f(1)=1-2=-1,切点坐标为(1,-1),f'(x)=4x3-6x2,所以切线的斜率为k=f'(1)=4×13-6×12=-2,切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1。 2.函数f(x)=x++2ln x的单调递减区间是(　B　) A.(-3,1) B.(0,1) C.(-1,3) D.(0,3) 解析　解法一:令f'(x)=1-+<0,得-3<x<1,且x≠0,又x>0,故所求函数的单调递减区间为(0,1)。故选B。 解法二:由题意知x>0,故排除A,C;又f(1)=4<f(2)=+2ln 2,故排除D。故选B。 3.下列关于函数f(x)=(3-x2)ex的结论,正确的是(　C　) A.f(-3)是极大值,f(1)是极小值 B.f(x)没有最大值,也没有最小值 C.f(x)有最大值,没有最小值 D.f(x)有最小值,没有最大值 解析　由f(x)=(3-x2)ex,得f'(x)=(-x2-2x+3)ex,令f'(x)=0,则-x2-2x+3=0,解得x=-3或x=1,当x<-3或x>1时,f'(x)<0,当-3<x<1时,f'(x)>0,所以f(-3)是极小值,f(1)是极大值,所以A项错误;因为f(-3)是极小值,且当x<-3时,f(x)<0恒成立,所以f(1)=2e>0是极大值,也是最大值。而当x→+∞时,f(x)→-∞,所以f(x)有最大值,没有最小值,所以C项正确,B、D两项错误。 4.已知函数f(x)=x3-x2+bx+1在x=1处有极值,则f(x)的单调递减区间为(　B　) A.(-∞,1] B.[1,2] C.[-1,2] D.[2,+∞) 解析　对f(x)求导,得f'(x)=x2-3x+b。由f(x)在x=1处有极值,可得f'(1)=0,即1-3+b=0,求得b=2,所以f'(x)=x2-3x+2。由f'(x)≤0,解得1≤x≤2,所以f(x)的单调递减区间为[1,2]。故选B。 5.已知一个圆柱的两个底面圆周在半径为2的同一个球的球面上,则该圆柱体积的最大值为(　A　) A.32π B. C.10π D.24π 解析　设圆柱的底面半径为r,高为h,则r2+=(2)2,因为r2=12-h2>0,所以0<h<4。圆柱的体积V=πr2h=12πh-h3,所以V'=12π-πh2,令V'=0,可得h=4,所以当h∈(0,4)时,V'>0;当h∈(4,4)时,V'<0。所以V=12πh-h3在(0,4)上单调递增,在(4,4)上单调递减,所以Vmax=48π-×64=32π。故选A。 6.若函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,则实数a的取值范围为(　D　) A. B. C. D. 解析　由题可得f'(x)=ex-2ax-2a,因为f(x)有两个极值点,所以关于x的方程ex-2ax-2a=0有两个根,显然a≠0,所以关于x的方程=e-x(x+1)有两个根。令g(x)=e-x(x+1),则g'(x)=-xe-x,当x<0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(0)=1,因为当x→+∞时,g(x)→0,当x→-∞时,g(x)→-∞,所以0<<1,解得a>。故选D。 7.(2023·石家庄质量检测)已知a=,b=ln 1.4,c=e0.2-1,则(　C　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 解析　比较a,b的大小(利用ln x≥1-):令f(x)=ln x-1+,x>0,则f'(x)=-=,令f'(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0。所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x=1时,函数f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为f(1)=0,所以f(x)≥0,即ln x≥1-(x>0),当且仅当x=1时等号成立。由ln x≥1-(x>0),得b=ln 1.4>1-=1-==a,即a<b。比较a与c的大小(利用ex<1+x+x2):令g(x)=ex-1-x-x2(0<x<1),则g'(x)=ex-1-2x,令h(x)=ex-1-2x,则h'(x)=ex-2,令h'(x)=0,解得x=ln 2,当0<x<ln 2时,h'(x)<0,当ln 2<x<1时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,又h(0)=0,h(1)=e-3<0,所以h(x