增分专练(16) 圆锥曲线的二级结论的应用 (专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

增分专练(十六)　圆锥曲线的二级结论的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A级　基础达标 一、选择题 1.设坐标原点为O,抛物线y2=4x与过焦点的直线交于A,B两点,则·等于(　D　) A. B.- C.3 D.-3 解析　解法一:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4ty-4=0,Δ=16t2+16>0恒成立,则所以·=x1x2+y1y2=·+y1y2=+(-4)=-3。 解法二:因为AB过抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2==1,y1y2=-p2=-4,所以·=x1x2+y1y2=-3。 2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，直线l:y=kx(k≠0)与C交于M,N两点,且四边形MF1NF2的面积为8a2。若点M关于点F2的对称点为M',且|M'N|=|MN|,则C的离心率是(　B　) A. B. C.3 D.5 解析　如图,由对称性知MN与F1F2互相平分,所以四边形MF2NF1为平行四边形,因为F2为MM'的中点,且|MN|=|M'N|,所以NF2⊥MF2,所以四边形MF2NF1为矩形,所以=4a2,又==4a2,即b2=4a2,所以c2-a2=4a2,即c2=5a2,即e==。 3.椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,且=2,则△AF1B的外接圆面积为(　D　) A. B.4π C.9π D. 解析　如图,a=3,b=2,c=,令|F2B|=t,则|AF2|=2t,因为+=,所以+=,得t=1,所以|F2B|=1,|AF2|=2,由椭圆定义知|BF1|=5,|AF1|=4,所以△ABF1中,|AB|=3,|AF1|=4,|BF1|=5,所以AF1⊥AB,所以△ABF1外接圆半径R==,其面积为。 4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过原点O的直线交C于A,B两点(点B在右支上),双曲线右支上一点P(异于点B)满足·=0,直线PA交x轴于点D,若∠ADO=∠AOD,则双曲线C的离心率为(　A　) A. B.2 C. D.3 解析　如图,因为·=0,所以BA⊥BP,令kAB=k,因为∠ADO=∠AOD,所以kAP=-kAB=-k,又BA⊥BP,所以kPB=-,依题意知kPB·kPA=,所以-·(-k)=,所以=1,即e=。 5.(2023·潍坊市统考)已知O为坐标原点,A,B是抛物线y2=4x上的动点,且OA⊥OB,过点O作OH⊥AB,垂足为H,下列各点中到点H的距离为定值的是(　B　) A.(1,0) B.(2,0) C.(1,2) D.(2,1) 解析　由题意,知直线AB的斜率不为0,故可设直线AB的方程为x=ty+s,A(x1,y1),B(x2,y2)。联立消去x,得y2-4ty-4s=0,Δ=16t2+16s>0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4s,所以x1x2=(ty1+s)(ty2+s)=t2y1y2+ts(y1+y2)+s2=s2。因为OA⊥OB,所以·=0,所以x1x2+y1y2=0,即s2-4s=0,解得s=0或s=4。若s=0,则直线AB过原点O,不符合题意,故s=4,此时直线AB的方程为x=ty+4,所以直线AB过定点T(4,0)。又OH⊥AB,所以OH⊥HT,所以点H在以OT为直径的圆上,即H的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(x≠0),所以圆心(2,0)到点H的距离为定值2。故选B。 6.直线l过抛物线y2=6x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且|AF|=3|BF|,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为A',B',则四边形ABB'A'的面积为(　C　) A.4 B.8 C.16 D.32 解析　不妨令直线l的倾斜角为θ,则|AF|==,|BF|==,又|AF|=3|BF|,所以=3·,解得cos θ=,又θ∈[0,π),所以θ=,所以|AF|==6,|BF|==2,所以|AA'|=6,|BB'|=2,所以|A'B'|=|AB|sin θ=8×=4,所以S四边形ABB'A'=×(2+6)×4=16。 二、填空题 7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于M,N两点,且|MF|=2|NF|,则直线l的斜率为 ±2 。  解析　由抛物线的焦点弦的性质知+==1,又|MF|=2|NF|,解得|NF|=,|MF|=3,所以|MN|=,设直线l的倾斜角为θ,则直线l的斜率k=tan θ,又|MN|=,所以=,所以sin2θ=,所以cos2θ=,所以tan2θ=8,所以tan θ=±2,故k=±2。 8.经过椭圆+y2=1中心的直线与椭圆相交于M,N两点(点M在第一象限),过点