增分专练(15) 圆锥曲线的定义、方程与性质 (专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

增分专练(十五)　圆锥曲线的定义、方程与性质 A级　基础达标 一、单项选择题 1.已知曲线C:+=1,则“a>0”是“曲线C表示椭圆”的(　C　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若曲线C:+=1表示椭圆,则解得a>1,故“a>0”是“曲线C表示椭圆”的必要不充分条件。故选C。 2.已知椭圆C1:+=1,椭圆C2:+=1(m<3),则下列结论正确的是(　C　) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 解析　设椭圆C1的焦距为2c1,椭圆C2的焦距为2c2,则=4-3=1,=4-m-(3-m)=1,所以2c1=2c2。故选C。 3.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一。已知某青花瓷花瓶的外形上、下对称,可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面。若该花瓶的瓶口直径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是(　B　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-y2=1 解析　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,点(4,3)在双曲线上。设该双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则可得故该双曲线的标准方程是-=1。故选B。 4.(2023·北京卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　D　) A.7 B.6 C.5 D.4 解析　因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4。故选D。 5.某研究性学习小组发现,由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线所成的角可求离心率e的大小,联想到反比例函数y=(k≠0)的图象也是双曲线,据此可进一步推断双曲线y=的离心率为(　A　) A. B.2 C. D.5 解析　如图所示,设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线所成的角为θ,则由双曲线的定义与几何性质知cos=。因为双曲线y=的两条渐近线分别为x轴、y轴,即两条渐近线互相垂直,所以两条渐近线所成的角为90°,离心率e====。故选A。 6.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　C　) A. B. C.- D.- 解析　将直线y=x+m与椭圆联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于A,B点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2,设F1到AB的距离为d1,F2到AB的距离为d2,易知F1(-,0),F2(,0),则d1=,d2=,===2,解得m=-或-3(舍去),故选C。 二、多项选择题 7.(2023·武汉调研)若椭圆+=1(m>0)的某两个顶点间的距离为4,则m的可能取值有(　BCD　) A. B. C. D.2 解析　当椭圆的长轴长为4时,=×4=2,解得m=;当椭圆的短轴长为4时,m=2;当椭圆的一长轴端点与一短轴端点之间的距离为4时,m2+2+m2=42,解得m=。综上,m的可能取值有,2,。故选BCD。 8.(2023·苏北四市调研)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割数,简称黄金数。离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线。若黄金双曲线E:-y2=1(a>0)的左、右顶点分别为A1,A2,虚轴的上端点为B,左焦点为F,离心率为e,则(　ABD　) A.a2e=1 B.·=0 C.顶点到渐近线的距离为e D.△A2FB的外接圆的面积为π 解析　依据黄金双曲线的定义知,其离心率e==,又e2==,所以a2=,a2e=1,故A正确;易知B(0,1),A2(a,0),F(-c,0),所以=(-a,1),=(c,1),所以·=-ac+1=1-a2e=0,故B正确;渐近线方程为x±ay=0,则顶点到渐近线的距离d==,故C错误;由B的分析知A2B⊥FB,所以Rt△A2FB外接圆的直径为斜边A2F,又|A2F|=a+c,所以外接圆的面积为(a+c)2=(a2+2ac+c2)=(a2+2a2e+a2+1)=(2a2+3)=π,故D正确。综上,选ABD。 三、填空题 9.已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m= -3 。  解析　双曲线y2+=1的标准方程为-=1,其渐近线方程为±=0,即y=±,所以=,所以m=-3。 10.已知点P为椭圆+=1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任意一条直径,则·的最大值是 19 。  解析　圆N:x2+(y-1)2=1的圆心为N(0,1),半径为1,设点P