增分专练(12) 随机变量及其分布 (专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

增分专练(十二)　随机变量及其分布 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A级　基础达标 一、单项选择题 1.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=|X-1|,则P(Y=1)等于(　A　) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析　因为Y=|X-1|,所以P(Y=1)=P(X=0或X=2)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3。 2.已知5件产品中有2件次品,3件正品,检验员从中随机抽取2件进行检测,记取到的正品数为ξ,则数学期望E(ξ)为(　D　) A. B. C.1 D. 解析　ξ可取0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=。故选D。 3.已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X≤4)=0.84,则P(0<X≤4)=(　B　) A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.16 解析　由P(X≤4)=0.84,知P(2≤X≤4)=0.34。所以P(0<X≤4)=0.68。故选B。 4.(2023·济南市统一检测)已知等差数列{an}的公差为d,随机变量X满足P(X=i)=ai(0<ai<1),i=1,2,3,4,则d的取值范围是(　D　) A. B. C. D. 解析　由分布列知识得a1+a2+a3+a4=1,即4a1+6d=1,a1=-d,又0<a1<1,0<a2<1,0<a3<1,0<a4<1,所以0<-d<1,0<-d<1,0<+d<1,0<+d<1,得-<d<。故选D。 5.设a>0,若随机变量ξ的分布列如下: ξ -1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是(　C　) A.D(ξ) B.D(|ξ|) C.D(2ξ-1) D.D(2|ξ|+1) 解析　由题意知,a+2a+3a=1,解得a=,所以E(ξ)=-1×+0×+2×=,E(|ξ|)=1×+0×+2×=, D(ξ)=×+×+×=,D(|ξ|)=×+×+×=。D(ξ)>1>D(|ξ|),D(2ξ-1)=4×=,D(2|ξ|+1)=4×=,所以D(2ξ-1)最大。故选C。 6.(2023·广东六校联考)我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量,服从正态分布的随机变量称为正态随机变量。概率论中有一个重要的结论:若随机变量Y~B(n,p),当n充分大时,二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似替代,且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同。法国数学家棣莫弗(1667—1754)在1733年证明了p=时这个结论是成立的,法国数学家、物理学家拉普拉斯(1749—1827)在1812年证明了这个结论对任意的实数p∈(0,1]都成立,因此,人们把这个结论称为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。现抛掷一枚质地均匀的硬币900次,利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)(　A　) A.0.977 25 B.0.841 35 C.0.658 65 D.0.022 75 解析　抛掷一枚质地均匀的硬币900次,设硬币正面向上次数为X,则X~B,E(X)=np=900×=450,D(X)=np(1-p)=900××=225。由题意,X~N(μ,σ2),且μ=E(X)=450,σ2=D(X)=225=152,因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,即P(450-2×15≤X≤450+2×15)≈0.954 5,所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为P(X≥420)=P(X≥450-2×15)≈+0.5=0.977 25。故选A。 二、多项选择题 7.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的有(　ACD　) A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 解析　因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,A正确。由题意,得E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+ 4×0.2=2,所以D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,B错误,C正确。因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=2×2+1=5,D(Y)=4D(X)=4×1.8=7.