专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质 命|题|分|析 　　圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容。以选择题、填空题的形式考查,着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程。 考点整合　真题感悟 [知识提炼] 　　1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|MF|=d(d为M点到准线的距离)。 2.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系。 ①在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==; ②在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==。 (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标。 ①双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0); ②双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c)。 (3)抛物线的焦点坐标与准线方程。 ①抛物线y2=±2px(p>0)的焦点坐标为,准线方程为x=∓; ②抛物线x2=±2py(p>0)的焦点坐标为,准线方程为y=∓。 3.弦长问题 (1)弦长公式。 设直线斜率为k,直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时, |AB|=|x1-x2| = 或|AB|=|y1-y2| =。 (2)过抛物线焦点的弦长。 过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p。 4.圆锥曲线的结论 (1)与椭圆有关的结论。 对于+=1(a>b>0),如图。 则:①=c|y0|=b2tan; ②|PF1|·|PF2|≤a2; ③a-c≤|PF1|≤a+c; ④过点P(x0,y0)的切线方程为+=1; ⑤通径长为。 (2)双曲线中的几个常用结论。 ①焦点到渐近线的距离为b; ②实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线; ③双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e=⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系); ④过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦(通径)的长为; ⑤过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|。 (3)与抛物线有关的结论。 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①弦长|AB|=(α为弦AB的倾斜角); ②+=; ③以弦AB为直径的圆与准线相切; ④通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦。 [真题体验] 1.(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a=(　A　) A. B. C. D. 解析　由e2=e1,得=3,因此=3×,而a>1,所以a=。故选A。 2.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(　D　) A. B. C. D. 解析　由e=,则==1+=5,解得=2,不妨取双曲线C的一条渐近线为y=2x,则圆心(2,3)到渐近线的距离d==,所以弦长|AB|=2=2=。故选D。 3.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0)。若|AF|=|BF|,则|AB|=(　B　) A.2 B.2 C.3 D.3 解析　由已知条件,易知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1。又B(3,0),则|AF|=|BF|=2。不妨设点A在第一象限,则A(x0,2)。根据抛物线的定义可得x0-(-1)=2,所以x0=1,所以A(1,2),所以|AB|==2。故选B。 4.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　BCD　) A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 解析　将点A(1,1)的坐标代入x2=2py(p>0),解得p=。所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-,所以A错误。由y=x2,得y'=2x。当x=1时,y'=2,所以抛物线在点A(1,1)处的切线方程为y=2x-1。令x=0,得y=-1,即切线y=2x-1过点B,所以B正确。设直线PQ:y=kx-1,P(x1,),Q(x2,)。将PQ:y=kx-1与C:x2=y联立,得x2-kx+1=0,所以Δ=k2-4>0,x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=·