专题3 第2讲 空间点、线、面的位置关系 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

第2讲　空间点、线、面的位置关系 命|题|分|析 　　1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断。 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现在立体几何解答题中的第(1)问。 考点整合　真题感悟 [知识提炼] 　　1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a//b⇒a//α。 (2)线面平行的性质定理:a//α,a⊂β,α∩β=b⇒a//b。 (3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a//α,b//α⇒α//β。 (4)面面平行的性质定理:α//β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a//b。 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α。 (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a//b。 (3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β。 (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β。 [真题体验] 1.(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C⁃AB⁃D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　C　) A. B. C. D. 解析　取AB的中点E,连接CE,DE,因为△ABC是等腰直角三角形,且AB为斜边,则有CE⊥AB,又△ABD是等边三角形,则DE⊥AB,从而∠CED为二面角C⁃AB⁃D的平面角, 即∠CED=150°,显然CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又AB⊂平面ABC,因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC=CE,直线CD⊂平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角,令AB=2,则CE=1,DE=,在△CDE中,由余弦定理得CD= ==,由正弦定理得=,即sin∠DCE= =,显然∠DCE是锐角,cos∠DCE===,所以直线CD与平面ABC所成的角的正切值为。故选C。 2.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1,则(　ABD　) A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 解析　如图①,连接B1C。因为DA1//CB1,BC1⊥CB1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,所以A正确。如图②,连接B1C。因为BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,B1C∩A1B1=B1,B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以BC1⊥平面A1B1C,所以BC1⊥CA1,所以B正确。如图③,连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO,A1B。易证A1C1⊥平面BDD1B1,所以∠C1BO为直线BC1与平面BDD1B1所成的角,∠C1BO=30°,所以C错误。如图④,因为C1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角,且∠C1BC=45°,所以D正确。故选ABD。 3.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　A　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF//平面A1AC D.平面B1EF//平面A1C1D 解析　如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,易知BD⊥AC。又E,F分别为AB,BC的中点,所以EF//AC,所以BD⊥EF。由正方体的性质,知DD1⊥平面ABCD。又EF⊂平面ABCD,所以DD1⊥EF。因为BD∩DD1=D,所以EF⊥平面BDD1。因为EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,A正确。假设平面B1EF⊥平面A1BD。因为平面B1EF⊥平面BDD1,且平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以BD⊥平面B1EF。在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,显然BD与平面B1EF不垂直,B错误。设A1A与B1E的延长线相交于点P,则平面B1EF与平面A1AC不平行,C错误。连接AB1,B1C,易证平面ACB1//平面A1C1D。因为平面ACB1与平面B1EF相交,所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行,D错误。故选A。 4.(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°,以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为  。  解析　如图,连接B1D1,易知△B1C1D1为正三角形,所以B1D1=C1D1=2。分别取B1C1,BB1,CC1的中点M,G,H,连接D1M,D1G,D1H,则易得D1G=D1H==,D1M⊥