专题3 第1讲 空间几何体 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

专题三　立体几何 第1讲　空间几何体 命|题|分|析 　　空间几何体的结构特征是高考重点考查的内容。近几年主要考查空间几何体的表面积与体积,常以选择题与填空题为主,也涉及空间几何体的结构特征等内容,要求学生要有较强的空间想象能力和计算能力。 考点整合　真题感悟 [知识提炼] 　　1.直观图 斜二测画法直观图的面积为原图形面积的倍。 2.空间几何体的表面积与体积公式 　　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 S表面积=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表面积=S侧+S底 V=Sh 台体 S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 3.球的切接问题 (1)设正方体的棱长为a,球的半径为R。 ①若球为正方体的外接球,则2R=a; ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=a。 (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=; (3)正四面体的棱长为a,其外接球的半径与其内切球的半径之比为3∶1。 4.常用结论 假设正四面体的棱长为a,则有 (1)h=a,S表面积=a2,V=a3; (2)相邻两个面的二面角α:cos α=; (3)三条侧棱与底面的夹角β:cos β=。 [真题体验] 1.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为(　B　) A.π B.π C.3π D.3π 解析　在△AOB中,∠AOB=,而OA=OB=,取AB的中点C,连接OC,PC,则OC⊥AB,PC⊥AB。如图,∠ABO=30°,OC=,AB=2BC=3,由△PAB的面积为,得×3×PC=,解得PC=,于是PO===,所以圆锥的体积V=π×OA2×PO=π×()2×=π。故选B。 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　A　) A.100π B.128π C.144π D.192π 解析　设正三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1,r2,外接圆圆心分别为O1,O2,三棱台的外接球半径为R,球心为O。令|OO1|=t,则|OO2|=|t-1|。由题意及正弦定理,得2r1==6,2r2==8,所以r1=3,r2=4,所以R2=+t2=+(t-1)2,即R2=9+t2=16+(t-1)2,解得所以正三棱台外接球的表面积为4πR2=100π。故选A。 3.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙。=2,则=(　C　) A. B.2 C. D. 解析　设甲、乙两个圆锥的母线长都为l,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2。因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2π,所以+=2π,则r1+r2=l。又=2,所以πr1l=2πr2l,所以r1=2r2,所以r1=l,r2=l,所以h1==l,h2==l,所以===。故选C。 4.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　B　) A.2 B.2 C.4 D.4 解析　设圆锥的母线长为l,因为该圆锥的底面半径为,所以2π×=πl,解得l=2。故选B。 5.(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 28 。  解析　解法一:由于=,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以原正四棱锥的体积为×(4×4)×6=32,截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3=4,所以棱台的体积为32-4=28。 解法二:由于=,而截去的正四棱锥的高为3,则棱台的高为3,所以棱台的体积为×3×=28。 热点聚焦　考向探究 考向一　空间几何体的结构特征 【例1】　(1)以下四个命题中,真命题为(　D　) A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B.底面是矩形的平行六面体是长方体 C.直四棱柱是直平行六面体 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 解析　A中等腰三角形的腰不一定是侧棱,A是假命题;B中,侧棱与底面矩形不一定垂直,B是假命题;C中,直四棱柱的底面不一定是平行四边形,C是假命题;根据棱台的定义,选项D是真命题。 (2)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等。 其中真命题的个数是(　A　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析