专题2 第1讲 等差数列与等比数列 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

专题二　数列 第1讲　等差数列与等比数列 命|题|分|析 　　1.在选择、填空题中考查等差数列、等比数列基本量的计算,注意整体思想及方程思想的运用。 2.在解答题中通常考查等差、等比数列的判定与证明,数列求和及数列与不等式的综合应用。 考点整合　真题感悟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [知识提炼] 　　1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d。 (2)等比数列的通项公式:an=a1·qn-1。 (3)等差数列的前n项和公式: Sn==na1+。 (4)等比数列的前n项和公式: Sn= 2.等差数列、等比数列的性质 (1)通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则对于等差数列,有am+an=ap+aq=2ak;对于等比数列有aman=apaq=。 (2)前n项和性质:对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列;对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列(q=-1且m为偶数情况除外)。 3.常用结论 (1)若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差的。 (2)在等差数列中,若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an;S奇-S偶=an;=。 (3){an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列。 (1)数列是一种特殊的函数,在用函数的有关知识求解数列问题时,要注意它的定义域是N*(或N*的有限子集{1,2,3,…,n}),易忽略n为正整数这一隐含条件。 (2)易忽视公式an=Sn-Sn-1的适用条件n≥2而导致错误。利用此公式求得an后,一定要验证n=1时是否满足所求出的an,若不满足,则要用分段形式来表示。 (3)应用等比中项公式时,要同时考虑到整个数列是否构成等比数列,即奇数项的符号相同,偶数项的符号相同。 [真题体验] 1.(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的(　C　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　设等差数列{an}的公差为d。因为{an}为递增数列,所以d>0。当n>1-,且n∈N*时,an=a1+(n-1)d>a1+d=0,故存在正整数N0≥1-,当n>N0时,an>0,即充分性成立。若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,则当n>N0≥1时,a1+(n-1)d>0。当a1≤0时,n-1>0,所以d>-≥0,即{an}为递增数列;当a1>0时,由题意得当n>N0时,an>0恒成立,即a1+(n-1)d>0恒成立,所以d>-恒成立,所以d>。因为-随着n的增大而增大,且-恒为负值,所以d≥0,又d≠0,所以d>0,即{an}为递增数列,即必要性成立。故选C。 2.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和。若S2=4,S4=6,则S6=(　A　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　因为S2=4,S4=6,且易知公比q≠±1,所以由等比数列的前n项和的性质,知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以(S4-S2)2=(S6-S4)S2,即(6-4)2=(S6-6)×4,所以S6=7。 3.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q,前n项和为 Sn,设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则(　B　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析　当a1<0,q>1时,an=a1qn-1<0,此时数列{Sn}递减,所以甲不是乙的充分条件。当数列{Sn}递增时,有Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0,若a1>0,则qn>0(n∈N*),即q>0;若a1<0,则qn<0(n∈N*),不存在。所以甲是乙的必要条件。 4.(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)证明:++…+<2。 解　(1)因为a1=1,所以=1。又因为是公差为的等差数列,所以=+(n-1),即Sn=an=(n+2)an,所以当n≥2时,Sn-1=(n+1)an-1,所以an=Sn-Sn-1=(n+2)an-(n+1)an-1,即(n-1)an=(n+1)an-1,所以=,所以当n≥2时,··…··=··…·×=,所以an=。当n=1时,a1=1满足上式,所以an=。 (2)证明:由(1),知an=,所以==2,所以++…+=2=2。因为n∈N*,所以0<≤,所以1-<1,所以2<2,所以++