专题1 培优微专题 三角函数与解三角形的2个热点问题 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

培优微专题　三角函数与解三角形的2个热点问题 热点一　三角函数中ω的求解 　　在三角函数的图象与性质中,ω的求解是高考的一个热点内容,其求法复杂,涉及的知识点多,是我们复习中的难点。 角度1:由三角函数的单调性求ω 【例1】　已知函数f(x)=sin(ωx+φ),f(0)=且函数f(x)在区间上单调递减,则ω的最大值为 10 。  解析　因为f(0)=sin φ=,又|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=sin,当x∈且ω>0时,+<ωx+<+,因为f(x)在区间上单调递减,则⊆(k∈Z),即解得4+32k≤ω≤10+16k(k∈Z),因为ω>0,则则0≤k≤且k∈Z,故k=0,从而4≤ω≤10,因此,ω的最大值为10。 　　若三角函数在区间[a,b]上单调递增,则区间[a,b]是该函数单调递增区间的子集,利用集合的包含关系即可求解。 【变式训练】　若直线x=是曲线y=sin(ω>0)的一条对称轴,且函数y=sin在区间上不单调,则ω的最小值为(　C　) A.9 B.7 C.11 D.3 解析　因为直线x=是曲线y=sin(ω>0)的一条对称轴,则ω-=kπ+,k∈Z,即ω=4k+3,k∈Z,由-≤ωx-≤,得-≤x≤,则函数y=sin在上单调递增,而函数y=sin在区间上不单调,则<,解得ω>9,所以ω的最小值为11。 角度2:由三角函数的对称性求ω 【例2】　已知f(x)=sin ωx-cos ωx,若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是  。(结果用区间表示)  解析　f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,令ωx-=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z)。又=≥2π-π,所以<ω≤1。当k=0时,≤<,≤π,得≤ω≤1。当k=1时,≤+<,且+≥2π,得ω≤。综上,≤ω≤。 　　三角函数y=Asin(ωx+φ)的对称性要抓住t=ωx+φ和y=sin t对称性的关系,寻找ω的限制条件。 【变式训练】　设函数f(x)=sin在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是(　C　) A. B. C. D. 解析　当ω<0时,不能满足在区间(0,π)极值点比零点多,所以ω>0,故由x∈(0,π),得ωx+∈。根据函数f(x)在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,知π<πω+≤3π,得<ω≤。所以,ω的取值范围为。 角度3:由三角函数的最值求ω 【例3】　若函数f(x)=sin(ω>0)在上的值域是,则ω的取值范围是(　B　) A. B. C. D. 解析　因为ω>0,所以当x∈时,ωx-∈。又因为函数f(x)=sin(ω>0)在x∈上的值域是,所以≤-≤,解得≤ω≤3。故选B。 　　求三角函数的最值(值域)问题,主要是整体代换ωx±φ,利用正、余弦函数的图象求解,要注意自变量的取值范围。 【变式训练】　已知函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,则ω的取值范围是 (-∞,-2]∪ 。  解析　显然ω≠0,分两种情况:若ω>0,当x∈时,-ω≤ωx≤ω。因为函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,所以-ω≤-,解得ω≥。若ω<0,当x∈时,ω≤ωx≤-ω,因为函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,所以ω≤-,解得ω≤-2。综上所述,符合条件的实数ω≤-2或ω≥。 热点二　三角形中的最值或范围 角度1:构建目标函数 【例4】　已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=。 (1)求b的值; (2)若cos B+sin B=2,求△ABC周长的取值范围。 解　(1)在△ABC中,因为+=,所以+=,所以=,解得b=。 (2)因为cos B+sin B=2sin=2,所以sin=1,因为0<B<π,所以<B+<,所以B+=,所以B=。由正弦定理得====1,所以a=sin A,c=sin C。由A+B+C=π得A+C=,所以C=-A,且0<A<。所以a+c=sin A+sin C=sin A+sin=sin A+sincos A-cossin A=sin A+cos A=sin。因为0<A<,所以<A+<,所以<sin≤1。所以<sin≤。所以a+c的取值范围是。所以△ABC周长的取值范围是。 　　用正弦定理表示边角关系,通过消元、两角和公式、倍角公式、辅助角公式等建立关于角的函数关系式,再把问题转化为已知角的范围,求三角函数最值或值域问题。 【变式训练】　设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=2A,则b的取值范围为(　C　) A.(2,4) B.(2,2) C.(2,2) D.(2,4) 解析　在锐角三角形ABC中,0<B=2A<,即0<A<,又B+A=3A,则<