专题1 第2讲 三角恒等变换、解三角形 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

第2讲　三角恒等变换、解三角形 命|题|分|析 　　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具。 2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换,“角”的变换是三角恒等变换的核心。 3.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容,主要考查边、角、面积、周长等的计算。 考点整合　真题感悟 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [知识提炼] 　　1.熟记三角函数公式的两类变形 (1)和差角公式变形。 sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β, cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β, tan α±tan β=tan(α±β)·(1∓tan αtan β)。 (2)倍角公式变形。 降幂公式:cos2α=,sin2α=。 升幂公式:cos α=2cos2-1,cos α=1-2sin2。 配方变形:1±sin α=。 2.正弦定理及其变形 在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径)。变形:a=2Rsin A,sin A=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等。 3.余弦定理及其变形 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A。 变形:b2+c2-a2=2bccos A, cos A=。 4.三角形面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B。 5.解三角形中常用的结论 (1)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C。 (2)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°。 (3)△ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列,且a,b,c成等比数列。 (4)S△ABC=(R为△ABC的外接圆半径)。 (5)S△ABC=r(a+b+c)(r为△ABC内切圆半径)。 [真题体验] 1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　B　) A. B. C.- D.- 解析　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,而cos αsin β=,因此sin αcos β=,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×=。故选B。 2.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　C　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 解析　解法一:设β=0,则sin α+cos α=0,则tan α=-1。取α=,排除A,B。设α=0,则sin β+cos β=2sin β,即tan β=1。取β=,排除D。故选C。 解法二:因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin=sin=sincos β+cossin β=2cossin β,所以sincos β=cossin β,所以sincos β-cossin β=0,即sin=0。所以sin=sin(α-β)+cos(α-β)=0,即sin(α-β)=-cos(α-β),所以tan(α-β)=-1。故选C。 3.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= 2 。  解析　如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a,由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,因为b>0,解得b=1+,由S△ABC=S△ABD+S△ACD,可得×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°,解得AD===2。 4.(2022·北京卷)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A= 1 ;f= - 。  解析　由题意可知f=0,即Asin-cos=0,所以A×-×=0,所以A=1,所以f(x)=sin x-cos x=2sin,所以f=2sin=2sin=-2sin=-2×=-。 5.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= 2 。  解析　由题意,得S△ABC=acsin B=ac=,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8,则b=2。 热点聚焦　考向探究 考向一　三角恒等变换 【例1】　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　D　) A. B. C. D. 解析　c