2024年九年级中考数学复习乘法公式与因式分解

乘法公式与因式分解 一、乘法公式 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.完全平方公式:(a±b)2= .  3.立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3. 4.立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)= .  5.三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac). 参考答案:2.a2±2ab+b2　4.a3-b3 二、因式分解 1.因式分解:把一个多项式写成几个整式的积的形式叫作多项式的因式分解. 2.因式分解的方法:提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法. 3.利用十字相乘法进行因式分解 ①x2+(p+q)x+pq型的因式分解: x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q). ②二次三项式ax2+bx+c型的因式分解: (a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2. 反过来,a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2). 我们发现,二次项系数a分解成a1a2,常数项c分解成c1c2,把a1,a2,c1,c2写成a1a2c1c2,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到a1c2+a2c1,如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2),其中a1,c1位于上一行,a2,c2位于下一行. 这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法. 十字相乘法小口诀:首尾分解,交叉相乘,实验筛选,求和凑中. 特殊地,如果a+b+c=0,那么必有因式x-1;(各项的系数和为0,一定有因式x-1) 如果a-b+c=0,那么必有因式x+1.(奇次项的系数等于偶次项的系数和,一定有因式x+1) 4.因式分解的思路 (1)看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式都在要求的范围内(比如有理数范围内)不能再分解为止. 能力1：会利用几种常见的乘法公式进行化简与计算 例1　化简:(1)(4+m)(16-4m+m2); (2)m-nm2+mn+n2; (3)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16). 解析　(1)原式=43+m3=64+m3. (2)原式=m3-n3=m3-n3. (3)原式=(a2-4)(a4+4a2+42)=(a2)3-43=a6-64. 　　(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. (2)为了更好地使用乘法公式,记住1,2,3,4,…,20的平方数和1,2,3,4,…,10的立方数,能加快解题速度. 对点练1　化简:(1)(a-b)(a2+ab+b2); (2)(20233+1)÷(20232-2023+1); (3)+·; (4)-. 解析　(1)(a-b)(a2+ab+b2) =[a+(-b)][a2-a(-b)+(-b)2]=a3+(-b)3=a3-b3. (2)(20233+1)÷(20232-2023+1) =[(2023+1)(20232-2023+1)]÷(20232-2023+1) =2023+1=2024. (3)原式=-·=· =·=2. (4)-=- =-=. 能力2：会利用公式法进行因式分解 例2　分解因式: (1)m3n-4mn; (2)3a3b-81b4; (3)x4-81y4; (4)16x4-72x2y2+81y4. 解析　(1)m3n-4mn=mn(m2-4) =mn(m+2)(m-2). (2)3a3b-81b4=3b(a3-27b3) =3b(a-3b)(a2+3ab+9b2). (3)原式=(x2)2-(9y2)2 =(x2-9y2)(x2+9y2) =(x-3y)(x+3y)(x2+9y2). (4)原式=(4x2)2-2×(4x2)(9y2)+(9y2)2 =(4x2-9y2)2 =[(2x-3y)(2x+3y)]2 =(2x-3y)2(2x+3y)2. 　　将一个多项式分解因式,首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察能否利用公式法,在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看清楚因式中各项的符号. 对点练2　分解因式: (1)x2y-9y; (2)9x3-6x2+x; (3)(m2+n2)2-4m2n2. 解析　(1)x2y-9y=y(x2-9)=y(x-3)(x+3). (2)