高一必修一讲义系列（人教A版或北师大版）

翰林院教育内部讲义 翰林院教育内部讲义 3函数的应用 【考点提示】 1.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使 成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 注意：并非所有的函数都有零点，例如，函数 ，由于方程 无实数根，故该函数无零点． 2. 函数零点的判定定理 技巧：判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解． (2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断． 3.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且 ＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 技巧：二分法就是通过不断地将所选区间(a，b)一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点． 4.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，验证 ＜0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)： 若f(c)＝0，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c) ＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]； 若f(c)·f(b) ＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]． (4)判断是否达到精确度ε： 即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)． 5.二分法的应用 由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的近似解． 【题型归纳】 题型一 求函数的零点 1.正确理解函数的零点： (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零