5.3.1 等比数列（5知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

5.3.1 等比数列 课程标准 学习目标 （1）理解等比数列的定义； （2）掌握等比数列的通项公式及应用； （3）掌握等比数列的判定方法； （4）理解等比中项的概念，并能简单应用； （5）掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题。 （1）能叙述等比数列和等比中项定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列； （2）探索并记忆等比数列的通项公式，能够应用它解决等比数列的问题； （3）能在具体问题情境中发现等比数列的关系，并能用有关知识解决相应的问题。 知识点01 等比数列的概念 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2、对等比数列概念的理解 （1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项； （2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列； （3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列； （4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比； （5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 【即学即练1】（2023·高二课时练习）（多选）下面四个选项中，正确的有（ ） A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列 B．常数列b，b，…，b一定为等比数列 C．等比数列中，若公比，则此数列各项相等 D．等比数列中，各项与公比都不能为零 知识点02 等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：. 2、通项公式的推广：或 【即学即练2】（2023·高二课时练习）在等比数列中，，公比．若，则 的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点03 等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 （1）当，或，时，数列为递增数列； （2）当，或，时，数列为递减数列； （3）当时，数列为常数列； （4）当时，数列为摆动数列。 【即学即练3】（2023·北京·高二北京八中校考期中）已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点04 等比中项 1、等比中项定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项． 此时，，即等比中项有两个，且互为相反数． （2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方， 即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。 【即学即练4】（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知实数是2、8的等比中项，则（ ） A． B． C．4 D．5 知识点05 等比数列的性质 1、“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 2、“下标和”性质：在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3、两等比数列合成数列的性质：若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 【即学即练5】（2024·湖南常德·高二常德市一中校考期末）各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A．9 B．10 C．11 D． 【题型一：等比数列的概念】 例1．（2022·贵州毕节·高三统考期中）下列三个数依次成等比数列的