专题17 圆的有关性质- 【全频累积】2024年中考数学考点全频累积专题精讲册

第五章　圆 扫描二维码 选择本专题 观看示范课 第五章　圆 17 专题17　圆的有关性质 考点1　垂径定理 考向1　垂径定理及其逆定理   (2023· 湖 北 宜 昌) 如图,OA,OB,OC 都 是☉O 的半径,AC,OB 交于点D.若 AD=CD=8,OD=6,则BD 的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解题详析】 ∵AD=CD=8, ∴D 为AC 的中点. ∵AO=CO,∴OD⊥AC. 由勾股定理得OC= CD2+OD2= 62+82= 10, ∴OB=10, ∴BD=OB-OD=10-6=4. 故选B.   (2023·山东枣庄 台儿庄三模)如图,在半径 为 13的☉O 中,弦AB 与 CD 交 于 点 E,∠DEB= 75°,AB=6,AE=1,则CD 的长是( ) A.26 B.2 10 C.2 11 D.43 【解题详析】 过点O作OF⊥CD 于点F,OG⊥AB 于点G, 连接OB,OD,OE,如图所示, 则DF=CF,AG=BG=12AB=3 , ∴EG=AG-AE=2. 在Rt△BOG中, OG= OB2-BG2= 13-9=2, ∴EG=OG, ∴△EOG是等腰直角三角形, ∴∠OEG=45°,OE= 2OG=22. ∵∠DEB=75°, ∴∠OEF=30°, ∴OF=12OE= 2. 在 Rt△ODF 中,DF = OD2-OF2 = 13-2= 11, ∴CD=2DF=2 11. 故选C.   (2023· 山 东 枣庄山亭一模)如图所示, 小区内有个圆形花坛☉O, 点C在弦AB 上,AC=11, BC=21,OC=13,则 这 个 花 坛 的 面 积 为 .(结果保留π) 【解题详析】 过点 O 作OD⊥AB 于点 D,连接OB,如图. ∵AC=11,BC=21, ∴AB=AC+BC=32. ∵OD⊥AB 于点D, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 117 5M5%  M 2 / 数学 ∴AD=BD=12AB=16 , ∴CD=AD-AC=5. 在Rt△OCD 中,由勾股定理, 得OD= OC2-CD2= 132-52=12, 在Rt△OBD 中,由勾股定理, 得OB= BD2+OD2= 162+122=20, ∴这个花坛的面积=202π=400π. 故答案为400π. 考向2　垂径定理的实际应用   (2023·山东枣庄滕州二模)筒 车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如 图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为 圆心的圆,如图2,已知圆心O 在水面上方, 且☉O被水面截得的弦AB 的长为4m,☉O 的半径长为3m.若点C 为运行轨道的最低 点,则 点C 到 弦 AB 所 在 直 线 的 距 离 是( ) A.1m B.2m C.(3- 5)m D.(3+ 5)m 【解题详析】 如图,连接OC,交AB 于点E. 由题意得OC⊥AB, ∴AE=BE=12AB= 2m. 在Rt△AEO中, OE= OA2-AE2= 32-22= 5(m), ∴CE=OC-OE=(3- 5)m. 故选C.   (2023·山东临沂沂南二模)如图,这 是一个香水瓶的示意图.从正面看,它可以近 似看作☉O割去两个弓形后余下的部分与矩 形ABCD 组合而成的图形(点 B,C 在☉O 上),其 中 BC∥EF.已 知 ☉O 的 半 径 为 2.5cm,BC=1.4cm,AB=2.6cm,EF= 4.8cm,则香水瓶的高度h是( ) A.5.6cm B.5.7cm C.5.8cm D.5.9cm 【解题详析】 如图,作OG⊥BC于点G, 延长GO,交EF 于点H, 连接BO,EO. ∵EF∥BC,∴OH⊥EF, ∴BG=12BC= 1 2×1.4= 0.7(cm), EH=12EF= 1 2×4.8=2.4 (cm), ∴GO= OB2-BG2= 2.52-0.72=2.4(cm), OH= OE2-EH2= 2.52-2.42=0.7(cm), ∴h=OH+OG+AB=0.7+2.4+2.6= 5.7(cm),即香水瓶的高度h为5.7cm. 故选B.   (2023· 山 东 东