专题14 等腰三角形与直角三角形- 【全频累积】2024年中考数学考点全频累积专题精讲册

第四章　图形的认识 14 专题14　等腰三角形与直角三角形 考点1　等腰（边）三角形的性质与判定 考向1　等腰三角形的性质   (2023· 山 东 淄 博 博 山 二 模 )如 图,在 △ABC 中,AB = AC, ∠BAC=24°,延长BC到点 D,使CD=AC,连接AD,则∠D 的度数是 . 【解题详析】 ∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°, ∴∠ACB=∠B=(180°-24°)÷2=78°, ∵CD=AC,∴∠D=∠CAD. ∵∠ACB=∠D+∠CAD=78°, ∴2∠D=78°, ∴∠D=39°. 故答案为39°.   (2023·山东临 沂 平 邑 一 模)如 图,在 △ABC 中,AB=AC,中 线AD 与 角 平 分 线CE 相 交 于 点F,已 知 ∠ACB=40°,则∠AFC的度数为( ) A.100° B.110° C.120° D.130° 【解题详析】 ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=40°, ∴∠BAC=180°-40°-40°=100°. 由等 腰 三 角 形 三 线 合 一 可 得 ∠BAD = ∠CAD=50°. ∵CE 平分∠ACB,∴∠ACF=20°, ∴∠AFC=180°-∠CAD-∠ACF=180°- 50°-20°=110°. 故选B. 考向2　等边三角形的性质   (2023· 山 东 枣 庄 薛 城 一 模 )如 图,在 等 边 △ABC 中,AB=2 3,D 为 AC 的中点,点P 在AB 上,且BP=1,将BP 绕点B 在平面内旋转,点P 的对应点为点Q, 连接AQ,DQ.当∠ADQ=90°时,AQ 的长为 . 【解题详析】 如图,连接BD. ∵△ABC为等边三角形, ∴AC=BC=AB=23. ∵D 为AB 的中点, ∴AD=CD=12AC= 3 ,BD⊥AC, ∴∠ADB=90°, ∴BD= AB2-AD2= (23) 2 -(3) 2 =3. 由旋转的性质可知BQ=BP=1. ∵∠ADB=90°, ∴当 ∠ADQ=90°时,点 Q 一 定 在 直 线 BD 上. ①当点 Q 在线段BD 上 时,如图所示, DQ=BD-BQ=3-1=2. 在Rt△ADQ 中, AQ= AD2+DQ2= (3) 2 +22= 7. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 095 5M5%  M 2 / 数学 ②当点Q 在DB 的延长线上时,如图所示, QD=BD+BQ=3+1=4, ∴AQ= AD2+DQ2= (3) 2 +42= 19. 综上可知,当∠ADQ= 90°时,AQ 的长为 7或 19. 故答案为7或 19.   (2023· 湖 北 荆 州)如 图,BD 是 等 边 △ABC的中线,以点D 为 圆心,以 DB 的长为半径 画弧,交BC 的延长线于点E,连接 DE.求 证:CD=CE. 【解题详析】 证明:∵BD 为等边△ABC的中线, ∴BD⊥AC,∠1=60°, ∴∠3=30°. ∵BD=DE, ∴∠E=∠3=30°. ∵∠2+∠E=∠1=60°, ∴∠E=∠2=30°, ∴CD=CE. 考向3　等腰三角形的性质与判定的 综合应用   (2023· 湖 北 武 汉)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠B=∠D, 点E 在BA 的延长线上, 连接CE. (1)求证:∠E=∠ECD. (2)若∠E=60°,CE 平分∠BCD,直接写出 △BCE 的形状. 【解题详析】 (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠EAD=∠B. ∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D, ∴BE∥CD, ∴∠E=∠ECD. (2)解:∵∠E=60°,∠E=∠ECD, ∴∠ECD=∠E=60°. ∵CE 平分∠BCD, ∴∠BCE=∠ECD=60°, ∴∠BCE=∠E=60°, ∴∠B=180°-∠BCE-∠E=60°, ∴∠BCE=∠E=∠B, ∴△BCE 是等边三角形.   (2022· 山 东 济 南 一 模)在△ABC 中,AB=AC,D 为AC 的中点,DE⊥AB,DF ⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=D