高一必修一讲义系列（人教A版或北师大版）

翰林院教育内部讲义 翰林院教育内部讲义 2.3幂函数 【考点提示】 1.幂函数 (1)定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． ` 函数 表达式 相同点 不同点 指数函数 且 右边都是幂的形式 指数是自变量，底数是常数 幂函数 （ ） 底数是自变量，指数是常数 (2)对于幂函数，我们只讨论 时的情形． (3)图象：在同一坐标系中，幂函数 的图象如图． 归纳总结：幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线 的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边． （4）幂函数y＝xα的图象性质 当指数α＝1时，y＝x的图象是直线；当α＝0时，y＝xα＝x0＝1是直线[不包括(0,1)点]．除上述特例外，幂函数的图象都是曲线，如下表： α＝ α<0 0<α<1 α>1 p、q都 是奇数 q是偶数 p是奇数 q是奇数 p是偶数 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． （5）幂函数的奇偶性 令 (其中p，q互质，p和q∈N*)． 若p是奇数，则 的奇偶性取决于q是奇数还是偶数．当q是奇数时， 是奇函数；当q是偶数时， 是偶函数，若p是偶数，则q必为奇数，此时， 既不是奇函数也不是偶函数. 【题型归纳】 题型一 幂函数的定义 【1-1】在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 【变式】1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 【变式】2.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，那么该幂函数的解析式是(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x－ D．y＝x－1 【1-2】已知函数f(x)＝xm－. 且f(4)＝ (1)求m的值； (2)判定f(x)的奇偶性； (3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 【变式】给出以下结论： ①当α＝0时，函数