6.5 三角形的内切圆与外接圆-【一战成名新中考】2024河南中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河南数学 命题点５　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 三角形的内切圆与外接圆 １．了解三角形的内心与外心； ２．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆． 要点归纳 １．确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． ２．三角形的内切圆与外接圆： 定义 图形 圆心 结论 三角形的 内切圆 与三角形 各边都相 切的圆 内心：三角形三个内角 的①　平分线　 的交点 ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＦ， ∠ＥＯＤ＋∠Ｃ＝１８０°， ∠ＡＯＢ＝９０°＋１２∠Ｃ， ＣＥ＝ＣＤ 三角形 的外接圆 经过三角 形的三个 顶点的圆 外心：三角形三条边 的②　分线　 的交点 ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ， ∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ 温馨提示：锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外 心在三角形外．当三角形形状不确定时，  应用外心一定要分类讨论． ３．几个拓展知识 （１）三角形内切圆半径的求法 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 利用等面积法可得：ｒ＝ ２Ｓ△ＡＢＣ ａ＋ｂ＋ｃ 利用等面积法可得：ｒ＝ ａｂａ＋ｂ＋ｃ； 利用切线长定理可得：ｒ＝ａ＋ｂ－ｃ２ ５１１ 基础夯实练·河南数学 （２）最小覆盖圆 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 结论：锐角三角形的最小覆 盖圆是它的外接圆 结论：直角三角形的最小覆 盖圆是它的外接圆 结论：钝角三角形的最小覆盖 圆是以最长边为直径的圆 随堂练习 １．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ（０，３），点Ｂ（２，１），点Ｃ（２，－３），则△ＡＢＣ的外心坐标 是　（－２，－１）　． 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　　　 第３题图 ２．如图，点Ｏ是△ＡＢＣ的内心，也是△ＤＢＣ的外心．若∠Ａ＝８０°，则∠Ｄ的度数是　６５°　． ３．（数学文化）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了 一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾 （短直角边）长为５步，股（长直角边）长为１２步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直 径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　４　步． 【思维点拨】遇到选填题可以用前面几种典型半径的求法快速得到答案． ６１１ 命题点 3　 圆周角定理及其应用 要点归纳　 ①一半　 ②相等 　 ③直角 　 ④直径 　 ⑤ 12 　 ⑥ = 　 ⑦90　 ⑧ α2 　 ⑨180° - α 2 　 ⑩互补　 􀃊􀁉􀁓180° 􀃊􀁉􀁔∠B　 􀃊􀁉􀁕△BCF　 􀃊􀁉􀁖△DCF 随堂练习　 (1)等腰直角三角形;(2)75;(3)30,60;(4)18; (5)30, 33 ;(6)6;(7)60,75,2 2;(8)4,正方形; (9)40°或 140° 命题点 4　 与圆有关的位置关系 要点归纳　 ① > 　 ② = 　 ③圆内　 ④ < 　 ⑤ > 　 ⑥ = ⑦ < 　 ⑧ 1　 ⑨2　 ⑩唯一　 􀃊􀁉􀁓唯一　 􀃊􀁉􀁔垂直于　 􀃊􀁉􀁕垂直 于　 􀃊􀁉􀁖等于　 􀃊􀁉􀁗两　 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙平分 例 1 证明:如解图,连接 OP,交 BD 于点 E, ∵ 点 P 为BD ( 的中点,∴ BD⊥OP,∴ ∠OEB = 90°, ∵ BD∥CP,∴ ∠OEB =∠OPC = 90°, ∴ PC⊥OP, ∵ OP 为☉O 的半径,∴ CP 与☉O 相切. 例 1 题解图 　 　 例 2 题解图 例 2 证明:如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, ∵ ∠BAD = 90°,BD 平分∠ABC, ∴ AD = DF, ∴ DF 是☉D 的半径, ∵ DF⊥BC, ∴ BC 是☉D 的切线. 随堂练习　 1. (1)①0 < r < 3;②相交;③3 < r≤4;(2)① 52 , 上;② 32 ,相离;③ 3 2 或 2 2. (1)①80;② 95 ;(2)①30,4 3;②3;(3)①3,30°, 3 6 ; ②90°,直径所对的圆周角是直角,⊥; ③解:∵ 在 Rt△ABD 中,∠ADB = 90°,AD = 8,BD = 6, ∴ AB = 10,∴ AO = 5, 由②可知 OP∥BD,∴ ∠POA =∠ABD; ∵ ∠PAO =∠ADB = 90°, ∴ △PAO∽△ADB, ∴ AODB = PO AB,即 5 6 = PO 10 ,∴ PO = 25 3 .