加练5 与圆有关的证明与计算-【一战成名新中考】2024河南中考数学·分层作业本

分层作业本·河南数学 第 六 章 圆 加练５　与圆有关的证明与计算 类型１　与切线性质有关的证明与计算 １．（２０２３周口模拟）如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＰＱ 切⊙Ｏ于点 Ｅ，ＡＣ⊥ＰＱ于点 Ｃ，交⊙Ｏ于 点Ｄ． （１）求证：ＡＥ平分∠ＢＡＣ； （２）若ＡＤ＝２，ＣＥ＝槡３，求ＡＢ的长． 第１题图 （１）证明：如解图，连接ＯＥ， ∵ＯＡ＝ＯＥ，∴∠ＯＥＡ＝∠ＯＡＥ， ∵ＰＱ切⊙Ｏ于点Ｅ，∴ＯＥ⊥ＰＱ， ∵ＡＣ⊥ＰＱ，∴ＯＥ∥ＡＣ． ∴∠ＯＥＡ＝∠ＥＡＣ，∴∠ＯＡＥ＝∠ＥＡＣ， ∴ＡＥ平分∠ＢＡＣ； （２）解：如解图，连接ＢＤ交ＯＥ于Ｆ， ∵ＡＢ为⊙Ｏ直径， ∴∠ＢＤＡ＝９０°， 则四边形ＦＥＣＤ为矩形， ∴ＦＤ＝ＥＣ＝槡３， 由垂径定理可得ＢＦ＝ＦＤ＝槡３， ∴ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２＝ ２２＋（２槡３）槡 ２＝４． ２．（２０２３南充改编）如图，ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ａ， ∠ＯＣＡ＝∠ＡＤＣ，ＢＣ与⊙Ｏ相交于点 Ｄ，连 接ＡＤ． （１）求证：ＯＣ∥ＡＢ； （２）若ＡＤ＝２，ｔａｎＢ＝１３，求ＯＣ的长． 第２题图 （１）证明：如解图，连接ＯＡ交ＢＣ于点Ｆ， ∵ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ａ， ∴∠ＯＡＢ＝９０°， ∵ＣＯ＝ＯＡ，∴∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ， 又∵∠ＯＣＡ＝∠ＡＤＣ，∴∠ＡＤＣ＝∠ＯＡＣ， ∵∠ＡＤＣ＝１２∠ＡＯＣ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝１２∠ＡＯＣ，∴∠ＡＯＣ＝９０°， ∴∠ＡＯＣ＝∠ＯＡＢ＝９０°， ∴ＯＣ∥ＡＢ； （２）解：如解图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ， 由（１）知∠ＡＤＥ＝１２∠ＡＯＣ＝４５°， ∴△ＡＤＥ是等腰直角三角形， ∵ＡＤ＝２，∴ＡＥ＝ＤＥ＝槡２２ＡＤ＝槡２， ∵在Ｒｔ△ＡＥＢ中，ｔａｎＢ＝ＡＥＢＥ＝ １ ３， ∴ＢＥ＝３ＡＥ＝３槡２， ∴ＡＢ＝ ＢＥ２＋ＡＥ槡 ２＝槡１８＋２＝２槡５， ∵在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ｔａｎＢ＝ＡＦＡＢ＝ １ ３， ∴ＡＦ＝１３ＡＢ＝ ２槡５ ３， ∵ＯＣ∥ＡＢ，∴∠ＯＣＦ＝∠Ｂ， ∴在 Ｒｔ△ＣＯＦ中，ｔａｎ∠ＯＣＦ＝ＯＦＯＣ＝ １ ３，即 ＯＣ ＝３ＯＦ， 设ＯＣ＝ｒ，则ＯＦ＝ＯＡ－ＡＦ＝ｒ－２槡５３， ∴３（ｒ－２槡５３）＝ｒ，解得ｒ＝槡５，∴ＯＣ＝槡５                                                                     ． ４９ 分层作业本·河南数学 第 六 章 圆 类型２　与实际背景结合 ３．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物 质文化遗产之一．为弘扬传统文化，某校将抖 空竹列入了体育课程．在学习了圆之后，数学 兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意 图如图所示，已知绳 ＡＣ，ＢＤ分别与空竹⊙Ｏ 相切于点 Ｃ，Ｄ，且 ＡＣ＝ＢＤ，连接左右两个绳 柄Ａ，Ｂ，ＡＢ经过圆心Ｏ，交⊙Ｏ于点Ｅ，Ｆ． （１）求证：ＡＥ＝ＢＦ； （２）若 ＡＥ＝４，ＡＣ＝８，求两个绳柄之间的距 离ＡＢ． 第３题图 （１）证明：如解图，连接ＯＣ，ＯＤ， ∵ＡＣ，ＢＤ分别与⊙Ｏ相切于点Ｃ，Ｄ， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＢＤＯ＝９０°． 在△ＡＣＯ和△ＢＤＯ中， ＡＣ＝ＢＤ， ∠ＡＣＯ＝∠ＢＤＯ＝９０°， ＯＣ＝ＯＤ { ， ∴△ＡＣＯ≌△ＢＤＯ（ＳＡＳ）． ∴ＡＯ＝ＢＯ， 又∵ＥＯ＝ＦＯ， ∴ＡＥ＝ＢＦ； （２）解：设ＯＥ＝ＯＣ＝ｘ，则ＡＯ＝ｘ＋４． 在Ｒｔ△ＡＣＯ中，由勾股定理，得 ＡＯ２＝ＯＣ２＋ＡＣ２， 即（ｘ＋４）２＝ｘ２＋８２． 解得ｘ＝６， ∴ＡＯ＝１０， ∴ＡＢ＝２０． ∴两个绳柄之间的距离ＡＢ为２０． ４．（２０２３河南模拟）独轮车（图①）俗称“手推 车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘 道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北 方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图②所 示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在 △ＡＢＣ中，以△ＡＢＣ的边ＡＢ为直径作⊙Ｏ，交 ＡＣ于点Ｐ，ＰＤ是⊙Ｏ的切线，且 ＰＤ⊥ＢＣ，垂 足为点Ｄ． （１）求证：∠Ａ＝∠Ｃ； （２）若ＰＤ＝２ＢＤ＝４，求⊙Ｏ的半径． 图① 　　 图② 第４题图 （１）证明：如解图，连接ＯＰ， ∵ＰＤ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＰ⊥ＰＤ， ∵ＰＤ⊥ＢＣ，∴ＯＰ∥ＢＣ， ∴∠ＯＰＡ＝∠Ｃ， ∵ＯＡ＝ＯＰ，∴∠ＯＰＡ＝∠Ａ， ∴∠Ａ＝∠Ｃ； （２）解：如解图，连接ＰＢ， ∵ＰＤ⊥ＢＣ，ＰＤ＝２ＢＤ＝４， ∴在Ｒｔ△ＰＢＤ中，ＰＢ＝ ２２＋４槡 ２＝２槡５， ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＰＢ＝９０°， ∵∠ＢＤＰ＝∠ＢＰＣ，∠ＤＢＰ＝∠ＰＢＣ， ∴△ＢＤＰ∽△ＢＰＣ， ∴ＢＰ∶ＢＣ＝ＢＤ∶ＢＰ，即２槡５∶ＢＣ＝２∶２槡５， 解得ＢＣ＝１０， ∵∠Ａ＝∠Ｃ，