第11讲 一次函数的应用与综合问题（讲义）-备战2024年浙江中考数学一轮复习

备战2024年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第11讲 一次函数的应用与综合问题 ( 课标要求 ) 1.理解一次函数与方程（组）的关系，能利用一次函数求方程（组）的解； 2.理解一次函数与不等式（组）的关系，会利用一次函数的图象、性质解决不等式的有关问题； 3.会利用一次函数的性质解决实际问题. 4.一次函数与其他知识的综合运用 ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 一次函数与方程（组） ☆ 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 单独考查一次函数与方程、不等式的题目近年比较少. 考点2 一次函数与不等式（组） ☆☆ 考点3一次函数的应用 ☆☆☆ 考点4 一次函数的综合 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在 时所对应的x的值． 2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在 时所对应的x的取值范围． 3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的 ． 4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想． 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． ( 深度讲练 ) ■考点一　一次函数与方程（组）► ◇典例1：（2021•辽宁）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4 【变式训练】 1．（2021•乾县模拟）若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0）的解，则一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，0） 2．（2023•杭州模拟）已知一次函数y＝3x﹣7与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，﹣1），则方程组的解是 　　． ■考点二 一次函数与不等式（组）► ◇典例2：（2023•德州）已知直线y＝3x+a与直线y＝﹣2x+b交于点P，若点P的横坐标为﹣5，则关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为（　　） A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5 【变式训练】 1．（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3 2．（2023•同心县模拟）一次函数y1＝mx+n与y2＝kx+a的图象如图所示，则mx+n＞kx+a的解集为（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1 3．（2023•余杭区模拟）设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）． （1）若函数y1的图象经过点（m，0），函数y2的图象经过