专题04 三角形压轴必会四大类：双角平分线、角平分线与高、找规律、新定义-2023-2024学年七年级数学下册重难热点提升精讲与实战训练（苏科版）

专题04三角形压轴必会四大类： 双角平分线、角平分线与高、找规律、新定义 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 小贴士 1. 能背会一些基本模型，可以为解题提供思路，并提高解题速度。 1. 注重每个模型所蕴含的数学思想，体会辅助线作法的依据，是学好数学的钥匙。 1. 背（默）会基本定理、模型是学好几何的关键。 1. 本专题主要讲解双角平分线模型、角平分线与高的夹角问题、找规律及经典新定义考题，难度偏大，建议以试题为载体，研究其中蕴含的解题思想与方法，体会过河拆桥的基本解题思路。 角平分线与三角形的融合 图4-1 图4-2 如图4-1： 已知：O是∠ABC与∠ACB平分线的交点。 求证：∠BOC=90°+(1/2)∠A 证明思路：图4-2 ∵BO与CO分别平分∠ABC与∠ACB. ∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB ∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB) = (180°-∠A) ∵∠BOC=180°-(∠1+∠2) ∴∠BOC=180°- (180°-∠A) 即:∠BOC=90°+∠A 图4-3 图4-3 O是∠CBD与∠BCE平分线的交点。 ⇒∠COB=90°-∠A 证明思路： 由A字模型得 ∠CBD+∠BCE=180°+∠A 由OB,CO分别平分∠CBD，∠BCE，可得 ∠1+∠2= (∠CBD+∠BCE） = (180°+∠A）=90+∠A ∵∠BOC=180°-(∠1+∠2) ∴∠BOC =180°- (180°+∠A） 即:∠BOC=90°-∠A 图4-4 图4-4 O是∠ABC与∠ACE平分线的夹角。 ⇒∠O=∠A 证明思路： 由BO，CO分别是∠ABC与∠ACE的平分线，可得 ∠1=∠ACE，∠2=∠ABC 由于：∠O=∠1-∠2=∠ACE-∠ABC =（∠ACE-∠ABC） =∠A 即：∠O=∠A 实战训练 一、经典难点：三角形双角平分线夹角 1．（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究 ①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 2．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是　 　； （2）如图2，若，的角平分线，交于点P，则与，的数量关系为　 　； （3）如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； （4）如图4，如果，，当时，试求的度数．    3．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数． (3)如图3，在中，的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 4．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 5．在数学几何图形学习过程中，我们一般遵循从特殊到一般的学习过程，先研究特殊图形的几何性质，然后研究一般图形是否也具备这样的性质，进而解决新的问题．      (1)如图1，若的平分线交于点，则________． (2)如图2，若的外角的平分线交点，求出的度数，请说明理由； (3)如图3，若的外角的平分线交于点，则的度数为________； (4)如图4，四边形的内角的角平分线与外角的平分线形成如图所示形状，，求的度数，请说明理由． 二、角平分线与高的融合—建议背会。 6．如图，在中，，平分，．求：    (1)的度数； (2)探究：小明认为如果条件改成，也能得