专题02 平行压轴—找规律与动点（线）强化练-2023-2024学年七年级数学下册重难热点提升精讲与实战训练（苏科版）

专题02 平行压轴—找规律与动点（线）强化练 小贴士 1. 灵活运用专题01中的基本模型，迅速找到解题思路，提高解题速度。 2. 注重每个模型所蕴含的数学思想，体会辅助线作法的依据，是学好数学的钥匙。 3. 平行专题辅助线总思路：作平行，延长线，构造三线八角是关键。 4. 找规律：重在找，少计算，相同形式最好办。 典例分析 1．从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)； 【详解】（1）证明：如下图，过点作，    ∵，， ∴， 根据两直线平行同旁内角互补可得： ，， ∴， ∴； （2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作，，，，    结合（1）解答在两相邻平行线间可得： ， ， ， ， ， 将所有角度相加可得： ； （3）解：由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和， 由图3可知： 当、之间有2条线段时，， 当、之间有3条线段时，， 当、之间有4条线段时，， 当、之间有5条线段时，， …， 当、之间有条线段时，， ∴； 2．为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋转激光灯．如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定主道路是平行的，即，且．    (1)填空：_______，_______，_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A射线转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)3   1    45 (2)15秒或82.5秒 (3)不发生改变    【详解】（1）∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 由得 ∴， ∴． （2）如图．    设在灯B射线赶到达BQ之前，灯A射线转动t秒，两灯的光束平行， ①在灯射线到达AN之前，由题意得， ， 解得：（秒） ②在灯A射线到达AN之后，由题意得： （同旁内角互补，两直线平行） 解得：（秒） ∴灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． （3）与的数量关系不发生变化．理由如下： 如图．    由⑴知， ∴． 设灯B射线转动的角度，则灯A射线转动的角度 ∴，① ， ∴ ∵， ∴② 由①②得， ∴ 实战训练 一、动点与动点升级之动线 1．为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    2．如图，，平分，设为α，点E是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数． (2)若点E运动到l1上方，且满足,，求α的值． (3)若，求的度数（用含n和α的代数式表示）． 3．如图，在中，．过点A作．    (1)判断是否平分，并说明理由； (2)如图2，点D是射线上一动点（不与点B，C重合），平分交射线于E，过点E作于F． ①当点D在点B左侧时，若，求的度数； ②点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 4．如图，已知两条射线，动线段的两个端点A、B分别在射线、上，且，F在线段上，平分，平分． (1)证明：； (2)若平行移动，那么与的度数比是否随着位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； (3)在平行移动的过程中，若，求． 5．如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，交于点M，，且． (1)当时，__________°． (2)判断是否平分，并说明理由． (3)如图，点G是射线上一动点（不与点F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．探究当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 6．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证