专题09 二次函数中四边形的存在性 -备战2024年中考数学考试易错题（上海专用）

专题09 二次函数中四边形的存在性 易错点一：平行四边形的存在性 解题策略： 1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算 （适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴） 2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等 （适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图） 3.平移坐标法 利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。 （适用于：直接写出答案的题） 1．（2023·上海黄浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 2．（2022·上海·上外附中校考模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 易错点二：梯形的存在性 解梯形的存在性问题一般分三步： 第一步分类，第二步画图，第三步计算． 一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点． 因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便． 3．（2022·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1，0) 、B(3，0) 、C(2，3)三点，且与y轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴； (2)分别联结AD、DC、CB，直线 y = 4x + m 与线段DC交于点E，当此直线将四边形 ABCD 的面积平分时，求m的值； (3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、F、B、C为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 4．（2022·上海杨浦·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值； (3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 易错点三：菱形的存在性 由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。 5．（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)求的值； (3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 6．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．    (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 易错点四：矩形的存在性 由于矩形是含90度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。 7．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为与轴交于和两点，交轴于点．    (1)求抛物线的函数表达式及点、、的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个