2024年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案） 1．如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切于点A，弦于点F，过D点作于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的半径和的长． 2．如图，在中，，以为直径作交于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线． (2)边与交于点G，填空： ①当的度数为______时，四边形为菱形； ②在①的条件下，若，则______． 3．如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若时，，求的直径的长． 5．如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、与交于点． (1)若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． (2)设，求关于的函数表达式． 6．如图：已知的直径，点为上一点，为的切线，是半径上任一点，过点作分别交、于、两点． 图1           图2 (1)如图1，当与圆心重合时， ①求证：； ②若，求图中阴影部分的面积； (2)如图2，连接，当时，交于点，，求的长度． 7．如图，在中，是直径上的动点，过点作弦（点在点的左边），过点作弦，垂足为点，连接，已知． (1)求证：． (2)当点在半径上时，且，求的值． (3)连接，若． ①求的长． ②如图，延长至点，使得，连接，求的面积． 8．如图，在中，为直径，直线（在直径上方）交于C、D两点，且，连接，；点P为直径下方上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，半径为5，求的长． 9．如图，为的外接圆，点B为的中点，点M为上一点，连接，且，连接交于D点，过M点作的切线交延长线于E点． (1)判断的形状； (2)求证：； (3)已知的半径为，且平分； ①求； ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用表示） 10．如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 11．已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 12．如图，为的直径，点都在上，且平分，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)若，求的半径； (3)于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 13．综合探究如图1，在矩形中（），对角线相交于点O，点A关于BD的对称点为，连接交于点E，连接． (1)求证：； (2)以点O为圆心，为半径作圆， ①如图2，与相切，求证：； ②如图3，与相切，，求的面积． 14．问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 15．已知，在中，弦、相交于E，点C是的中点． (1)如图1，当是直径时，求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作直径，连接并延长交的延长线于G，，，求的半径长． 16．内接于，，的长是，是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接． (1)如图（1），平分， ①求证：； ②若，求的长； (2)如图（2）若，求面积的最大值． 17．如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结．    (1)若，的面积为，求的半径． (2)如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．． 18．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点、、、． (1)与相似吗？为什么？ (2)如图2，弦交轴于点，且，求； (3)如图3，过点作的切线，交轴于点．点是上的动点，问比值是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由． 19．已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点C是抛物线顶点，若点M是外接圆的圆心，求点M的坐标； (3)如图2，点P是抛物线对称轴上一动点，连接，若点H为外接圆的圆心，当最大时，①求此时外接圆的面积；②请直接写出此时点H的坐标． 参考答案： 1．（1）证明：如图所示，连接，    ∵是半径，是的切线， ∴