精品解析：江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期期末数学模拟检测试卷

2023~2024学年第一学期期末模拟检测高三年级 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已集合，若，则实数a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，满足，则的最小值为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 3. 将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数满足：，且.若函数有且只有一个零点，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，， 则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 8. 数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（　　） A. 已知曲线（，不全为0），则曲线C的周长为 B. 若直线的方程，则直线l的倾斜角为 C. 若直线与直线垂直，则 D. 圆与圆的公切线条数为2 10. 已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（ ） A 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 11. 在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则（ ） A. B. 直线A'C与EF所成角的余弦值为 C. 直线A'C与EF的距离为 D. 四面体A'BCD的外接球的表面积为 12. 三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知实数，分别满足，，其中是自然对数的底数，则______. 14. 已知抛物线：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线的斜率为，则以线段为直径的圆的方程为______________. 15. 已知单位向量的夹角为，向量，若，则__________.（写出一个可能值） 16. 在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________. 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． （1）求数列和通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）若角，求角； （2）若，求的最大值 19. 如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知． （1）求证：⊥平面； （2）求二面角的大小． 20. 2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，． （1）①求第5次传球前，球恰好在手中的概率； ②第次传球前球在手中概率为，试比较与的大小． （2）训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大? 21. 已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. （1）求双曲线C的方程； （