精品解析：陕西渭南市瑞泉中学2026-2027学年上学期第二次教学质量检测高二数学试题

高二数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（ ） A. 3x+4y=0 B. 3x+4y+5=0 C. +4y=0 D. +4y+5=0 4. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 5. 焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 7. 设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的焦点都在x轴上 B. 的焦距相等 C. 没有公共点 D. 比更接近圆 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（ ） A. 的实轴长为 B. 的离心率为 C. D. 的焦距为 11. 已知圆C：和直线l：，则（ ） A. 直线与圆相切 B. 当时，圆上的点到直线的最大距离为 C. 当圆上有且仅有个点到直线的距离等于时 D. 若直线与圆交于，两点，则的中点的轨迹是圆的一部分 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 圆关于点对称的圆的方程是________. 13. 椭圆的左、右焦点为，，短轴长等于8，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______． 14. 如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 16. 已知在平面直角坐标系中，点，，满足的动点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点、、，当在曲线上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值； 17. 已知抛物线. （1）若抛物线上一点到其焦点的距离为，求的方程； （2）若，斜率为的直线交抛物线于两点，交轴的正半轴于点为坐标原点，求点的坐标. 18. 如图，若是双曲线的两个焦点. （1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 19. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心A． （1）求椭圆C的方程； （2）与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，可求解． 【详解】直线，即，直线的斜率为， 则直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程. 【详解】设该直线方程为 由点在该直线上，则，即 即该直线方程为 故选：C 【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题. 3. 与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（ ） A. 3x+4y=0 B. 3x+4y+5=0 C. +4y=0 D. +4y+5=0 【答案】B 【解析】 【分析】关于轴对称的两直线斜率是相反数，过轴上同一点，由此可得． 【详解】直线的斜率是，与轴交点为， 因此它关于轴对称的直线方程是，即． 故选：B． 4. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)， 圆半径|AM|=， 圆心M (−1,0)到直线x+y−1=0的距离： |， ∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长： . 故选B. 点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方 程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大． 2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系. 5. 焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆方程为，易得、，再结合，即可求解. 【详解】设椭圆方程为，由题可得：，，即 根据解得：，所以椭圆方程为. 6. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：将抛物线化为标准方程，，∴焦点坐标为． 考点：抛物线的标准方程． 7. 设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线方程，根据椭圆和双曲线的第一定义求出的长度，从而根据余弦定理求出的余弦值 【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，解得：，，所以根据余弦定理， 故选：A 8. 已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得：， 当点P在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的焦点都在x轴上 B. 的焦距相等 C. 没有公共点 D. 比更接近圆 【答案】BCD 【解析】 【分析】将椭圆变为标准方程，再根据椭圆的性质就可以判断每一个选项. 【详解】对于A，因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确； 对于B，因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确； 对于C，作出椭圆的图象，由图象可知，椭圆没有公共点，所以C正确； 对于D，因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（ ） A. 的实轴长为 B. 的离心率为 C. D. 的焦距为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线方程及一条渐近线求出，写出双曲线方程，根据双曲线的定义、性质即可判断各项的正误. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为， ∴，故， ∴双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则有，焦距为. ∴A、D正确，B、C错误. 故选：AD 11. 已知圆C：和直线l：，则（ ） A. 直线与圆相切 B. 当时，圆上的点到直线的最大距离为 C. 当圆上有且仅有个点到直线的距离等于时 D. 若直线与圆交于，两点，则的中点的轨迹是圆的一部分 【答案】BCD 【解析】 【分析】由直线所过定点坐标判断A选项的正确性，结合点到直线的距离公式判断BC选项的正确性，判断中点的轨迹来确定D选项的正确性. 【详解】圆：，即，圆心为，半径为. 直线，即， 当时，，所以直线过定点. ，所以点在圆内，所以直线与圆相交，A选项错误. 时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最远距离为，B选项正确. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为， 即，C选项正确. 对于D选项，直线与圆相交于、两点，设的中点，则， 则，即点的轨迹是以为直径的圆. 由于直线的斜率存在，所以点的轨迹是以为直径的圆，且除去与直线的交点（以外的另一点），所以D选项正确. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 圆关于点对称的圆的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点的对称点，即为所求的圆的圆心. 【详解】圆，化为标准方程：， 设关于点对称的圆的圆心为， 则，解得， 所以圆关于点对称的圆的方程是： ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆与圆的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13. 椭圆的左、右焦点为，，短轴长等于8，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意可求，利用椭圆的定义，的周长为. 【详解】根据题意可得：，，解得：，， 根据，解得：， 记周长为，. 14. 如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性，用椭圆的半焦距c表示出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【详解】由四边形为菱形，得轴，由椭圆对称性得点关于y轴对称，连接， 令椭圆半焦距为c，则，因此是正三角形，即， 则点，即有，于是，即， 整理得，而，解得， 所以该椭圆的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 【答案】（1）3x＋4y－14＝0 （2）3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0 【解析】 【分析】（1）由点斜式直接求解即可； （2）由题可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，再利用点到直线的距离的公式即得. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程得， 整理得直线l的方程为3x＋4y－14＝0. 【小问2详解】 ∵直线m与l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，∴， 即|14＋c|＝15. ∴c＝1或c＝－29. 故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16. 已知在平面直角坐标系中，点，，满足的动点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点、、，当在曲线上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接设，再根据条件列方程并化简可得； （2）设，根据两点距离公式表示，再结合在曲线上，从而可得最大值及最小值. 【小问1详解】 设点，由，且点，， 得， 两边平方得，， 整理得，所以曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意，设点， 则，，， 所以 ， 又因为在曲线上，所以， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，， 因此． 17. 已知抛物线. （1）若抛物线上一点到其焦点的距离为，求的方程； （2）若，斜率为的直线交抛物线于两点，交轴的正半轴于点为坐标原点，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式可得，求出，即可得到答案； （2）设点的坐标分别是，直线的方程为，根据向量的数量积为0，求出的值即可； 【详解】（1）由题知， 所以. （2）设点的坐标分别是， 则直线的方程为， ， ， 所以点的坐标为. 18. 如图，若是双曲线的两个焦点. （1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 【答案】（1）10或22；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可； （2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可. 【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则， 点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为， 则由双曲线定义可知，，解得或， 即点到另一个焦点的距离为或； （2）P是双曲线左支上的点，则， 则，而， 所以， 即， 所以为直角三角形，， 所以. 19. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心A． （1）求椭圆C的方程； （2）与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，再结合，即可求得椭圆方程； （2）当直线的斜率存在时，利用弦长公式，分别求和，四边形的面积，求得面积的取值范围，当直线的斜率不存在时，求四边形的面积，最后即可求得四边形MPNQ面积的取值范围． 【小问1详解】 圆的圆心A的坐标为，所以圆锥的半焦距， 又，所以，椭圆C的方程为． 【小问2详解】 当l与x轴不垂直时，设l的方程为， ，． 由得． 则，． 所以． 过点且与l垂直的直线，A到m的距离为， 所以． 故四边形MPNQ的面积． 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为． 当l与x轴垂直时，其方程为，，，四边形MPNQ的面积为12． 综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $