重庆市西南大学附中、重庆育才中学、万州中学拔尖强基联盟2024届高三下学期二月联合考试数学试题

西南大学附中 重庆育才中学 万州中学 高2024届拔尖强基联盟高三下二月联合考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 命题学校：西南大学附中 2024年2月 注意事项； 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 2. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则直线的斜率为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知是空间中三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 且，则 C. ，则 D. ，则 4. 数列的前项和为，满足，则（ ） A. 30 B. 64 C. 62 D. 126 5. 已知圆，弦过定点，则弦长不可能的取值是（ ） A. B. C. 4 D. 6. 在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的对称中心为 C. 在上递增区间为 D. 在上的极值点个数为1 10. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）（ A 事件与互斥 B. C. D. 11. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. 的图像关于点成中心对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，则______． 13. 如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为______． 14. 已知实数满足，则的最大值为______；的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等差数列的前项和为，同时满足成等差数列，是和的等比中项． （1）求数列通项公式； （2）当时，求数列的前项和． 16. 2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份． （1）求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率； （2）用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望． 17. 四棱锥中，已知，． （1）求证：平面平面； （2）若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值． 18. 如图，已知椭圆与椭圆有相同离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：； （3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若，求证：在定义域内有两个不同的零点； （3）若恒成立，求的值． 西南大学附中 重庆育才中学 万州中学 高2024届拔尖强基联盟高三下二月联合考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 命题学校：西南大学附中 2024年2月 注意事项； 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字