精品解析：四川省宜宾市叙州区第二中学校2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试题

叙州区二中高2021级高三下期开学考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟. 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为纯虚数，且（为虚数单位），则 A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是 A. 甲所得分数的极差为22 B. 乙所得分数的中位数为18 C. 两人所得分数的众数相等 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 4. 设函数，则 A. B. 5 C. 6 D. 11 5. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 17 B. 18 C. 5 D. 6 7. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 给出两个命题：：函数有两个不同的零点；：若，则，那么在下列四个命题中，真命题是（ ） A. B. C. D. 9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 10. 圆锥的母线长为2，侧面积为，若球的表面积与该圆锥的表面积相等，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 11. 过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点中心对称 C. D. 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，若，则实数__________. 14. 在正四棱柱中，，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为_______________． 15. 黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割.已知连接正五边形的所有对角线能够形成一个五角星，如图，点D是线段AB的黄金分割点，由此推断______. 16. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，则的最小值_______ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢数学竞赛 不喜欢数学竞赛 合计 男生 70 女生 30 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6． （1）将列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？ （2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的活动类型，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望． 参考公式及数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 001 0005 0.001 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6635 7.879 10.828 18 如图，四棱锥中，底面是梯形，且，,,,,. （1）求证：平面 平面; （2）若,求二面角的余弦值. 19. 已知在数列中，其前项和，若，且，数列为等比数列，公比，且成等差数列． （1）求与的通项公式； （2）令 ，若的前n项和为，求证：． 20. 已知椭圆E：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，且｜AB|=1. （1）求椭圆E的方程； （2）设P、Q是椭圆E上两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ,其中O是坐标原点. 当P、Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数. （1）讨论函数的极值； （2）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在