精品解析：河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

焦作市博爱一中2023—2024学年（上）高二期末考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为6 B. 在区间上单调递增 C. 的图像关于直线对称 D. 在区间上共有100个零点 2. 若，则的最小值是． A. B. C. D. 3. 如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆上两个不同的点，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （ ） A. B. C. D. 7. 2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心､杭州奥体中心､浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同分配方案种数为（ ） A. 180 B. 300 C. 360 D. 380 8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（ ） A. 若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8 B. 若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 C. 设，则的最小值为 D. 若，则直线AB过定点 10. 已知圆，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 B. 若直线l与圆C交于A，B两点，且面积为2，则直线l的方程为或 C. 若过点直线与圆C交于M，N两点，则当面积最大时，直线的斜率为1或 D. 若Q是x轴上的动点，，分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过定点 11. 若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线 D. 在上投影向量为 12. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，设．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 直线与上任意两点最小距离为__________. 14. 设，若.则______. 15. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______. 16. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的值； （2）若，当边c取最小值时，求的面积． 18. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 的顶点的垂心（三条高交点）为． （1）求顶点的坐标； （2）求的外接圆方程． 20. 已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求的值； （2）求的展开式的中间两项. 21. 已知圆． （1）若圆心到直线的距离为，设是直线上一动点，，，当