精品解析：四川省兴文第二中学校2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试题

兴文二中高2021级高三下期开学考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟. 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列满足，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 4. 已知向量满足且，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）． A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种 6. “”是“函数是奇函数”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知（）的展开式中含项系数为，则含项系数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若log2x•log34•log59=8，则x= A. 8 B. 25 C. 16 D. 4 9. 设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则 A. 上单调递减 B. 上单调递减 C. 上单调递增 D. 上单调递增 10. 已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 12. 已知函数，，，，若，，则（ ）． A. B. C. D. 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知实数满足，则的最大值为________． 14. 若，则__________. 15. 双曲线的左、右焦点分别为，P为右支上一点，且，的内切圆圆心为I，与切于点A，直线PI交x轴于点Q，若，则双曲线的离心率为____________． 16. 如图，在长方体中，，动点分别在线段和上.给出下列四个结论： ①； ②不可能是等边三角形； ③当时，； ④至少存在两组，使得三棱锥四个面均为直角三角形. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 记内角的对边分别为，设的外接圆半径为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 18. 2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下： 班号 1 2 3 4 人数 30 40 20 10 该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立. （1）求各班参加竞赛的人数； （2）2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望； （3）若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率. 19. 如图甲，已知是边长为6的等边三角形，D，E分别是AB，AC的点，且，将沿着DE翻折，使，点A到达点P处使得，得到四棱锥，如图乙． （1）求证：平面平面BCED； （2）求平面PDB与平面PEC所成锐二面角的正弦值． 20. 已知双曲线：的渐近线为，右焦点到渐近线的距离为，设是双曲线：上的动点，过的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点. （1）求的标准方程： （2）证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标. 21. 已知函数，． （1）若，求证：； （2）若关于的不等式的解集为集合，且，求实数的取值范围． （二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出C普通方程； （2）若A，B是C上异于坐标原点O的两动点，且，，并与线段A