四川省2023-2024学年高三下学期诊断性考试数学（理）试题

四川省2021级高中毕业班诊断性检测 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回． 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（ ） A. 这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多 B. 这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里 C. 这10个城市地铁运营线路条数平均数为15.4 D. 这10城市地铁运营线路条数的极差是12 4. 执行如图所示的程序框图，输出的y是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知向量、、满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（ ） A 4 B. C. 6 D. 8 7. 已知各项都为正数的等比数列满足，，则（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 8. 设，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象为曲线C，斜率为k的直线l经过点，则“”是“l是C的切线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，直线平面，是的中点，是线段上的动点，则直线与侧面的交点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知O为坐标原点，A，B是抛物线上的两个动点，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为，．若直线，的斜率之积为，则的面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中常数项为____________． 14. 若数列前n项和为，，，则数列的通项公式为__________． 15. 已知，则满足的实数的取值范围是__________． 16. 已知正三棱柱的侧面积为．当这个正三棱柱的所有棱长之和最小时，它的外接球的表面积为__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 某校服生产企业为了使设计所用的数据更精准，随机地抽取了6位高中男生的身高和臂展的数据，数据如下表所示： 身高 167 173 174 176 182 184 臂展 160 165 173 170 170 182 （1）计算相关系数r（精确到0.01）并说明可用线性回归模型拟合y与x的关系：（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．） （2）建立y关于x的线性回归方程，并以此估计男装上装XL号（加大号，对应身高）对应的臂展数据．（结果中精确到0.1．参考数据：，．） 相关系数公式：， 回归方程中，，． 18. 设内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为，且__________．在①平面向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并回答下列问题． （1）求的值； （2）若的外接圆的直径为，求的周长． 19. 在边长为4的菱形中，，E是AD的中点，现将沿EB进行翻折至的位置，如图所示，F是CP的中点． （1）线段CD上是否存在一点H，使得．若存在，指出点H的位置，并证明；若不存在，请说明理由； （2）当的面积最大时，求二面角的正弦值． 20. 设． （1）讨论的单调性； （2）若对任意的，关于的方程有两个不相等的实数解，求的取值范围． 21. 已知坐标原点为，椭圆的上顶点为，右焦点为，且，． （1）求椭圆的方程； （2）过作互相垂直的两条直线分别交于、两点，求的最大值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4—4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，点的坐标为，以坐标原点为极点，轴正