四川省大数据精准教学联盟2024届高三第一次统一监测理科数学试题

四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､班级､考场/座位号用05毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码贴码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用05毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上､试卷上答题无效， 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 一次课外活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学准备从羽毛球和乒乓球两项活动中随机选择一项参加，则甲、乙两名同学参加同一项活动的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足.若，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 60 C. D. 120 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ） A. 9 B. 99 C. 100 D. 999 6. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在区间上恰好有两个最值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若为直角三角形，则（ ） A B. C. D. 12. 已知函数和有相同的最小值.若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知为虚数单位，复数，计算__________. 14. 已知等差数列的前项和为，且，则______. 15. 如图，在矩形中，，点为线段的中点.沿直线将翻折，点运动到点的位置.当平面与平面所成角为时，三棱锥的体积为__________. 16. 已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为__________. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图. （1）估计该苗圃受到这种病虫害果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率； （3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）. 18. 记内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的角平分线交于，求的长. 19. 如图，在四棱锥中，，平面平面，设平面与平面的交线为. （1）证明：平面平面； （2）已知.若直线与直线所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 20. 已知定点，定直线，动点在曲线上. （1）设曲线的离心率为，点到直线的距离为，求证：； （2）设过定点的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 21. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若有2个零点，证明：. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与轴相交于点，以点为圆心的圆半径为2.以点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线的一个参数方程和圆的极坐标方程； （2）设直线与圆相交于点，求面积. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知. （1）求不等式的解集； （2）令的最小值为，若正数满足，证明：. 四川省大数据精准教学联盟2021