15 立体几何试题精选-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

立体几何试题精选 ■河南省固始县高级中学教育集团 胡云兵 图1 1.如图1,在四棱锥 P- ABCD 中,平面 PBC⊥平面 ABCD,底面ABCD 是矩形, O,E 分 别 是 BC,PA 的 中 点,平面α经过点O,D,E,且 与棱PB 交于点F。 (1)试确定点F 在棱PB 上的位置; (2)若PB=PC= 3,BC=2AB=2,求 EF 与平面PCD 所成角的正弦值。 图2 2.如图2,在四棱锥 P- ABCD 中,底面ABCD 是正 方形,AB=2,PA=PD= 5,E 为BC 的中点。 (1)证明:AD⊥PE。 (2)若二面角P-AD-B 的平面角为 2π 3 , G 是线段PC 上的一个动点,求直线 DG 与 平面PAB 所成角的最大值。 图3 3.如图3,在正△ABC 中, D,E 分别为AB,AC 的中点, 将△ADE 沿DE 折起,使二面 角A-DE-B 为直二面角,如图 4,连接AB,AC,过点E 作平面 图4 EFG 与平面ABD 平行,分 别交BC,AC 于F,G。 (1)证 明:EG⊥平 面 ABC; (2)点 H 在线段 AD 上运动,当FH 与平面EFG 所成角的正弦值为 15 5 时,求AH AD 的值。 图5 4.如 图 5,在 多 面 体 ABCDEF 中,已知四边形 ABFE 和四边形CDEF 均 是等腰梯形,底面 ABCD 为矩形,AC 与BD 的交点 为O,EF∥平面ABCD,且EF 与底面ABCD 的距离为 2,AE=ED,AB=2EF=4,AD =22。 (1)求证:FO∥平面ADE。 (2)在线段BF 上是否存在一点M,使得 CM 与平面ADE 所成角的正弦值为 2 14 21 ? 若存在,请确定点 M 的位置;若不存在,请说 明理由。 图6 5.如图6,在三棱台 ABC- DEF 中,AB⊥AC,AB=2DE =2,AC=22,CF=2,且CF ⊥平面ABC。设P,Q,R 分别 为棱AC,FC,BC 的中点。 (1)证明:平面 BCD⊥平 面PQR; (2)求平面BCD 与平面BDE 所成角的 余弦值。 图7 6.如图7,在以 A,B, C,D,E,F 为顶点的五面体 中,四 边 形 ABEF 为 正 方 形,AF=2FD,∠AFD = 90°,且二面角 D-AF-E 与 二面角C-BE-F 都是60°。 (1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A 的正弦值。 图8 7.如图8,在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 为正 方形,PA⊥底面ABCD,PA =AB=2,E,F 分 别 在 棱 PB,BC 上。 (1)当 E 为棱PB 的中 点时,求证:AE⊥EF; (2)当 F 为 棱 BC 的 中 点 时,求 平 面 AEF 与平面PDC 所成角的余弦值的最大 值。 图9 8.如图9,在平行四边形 ABCD 中,AE⊥DC,AD= 4,AB=3,∠ADE=60°,将 △ADE 沿AE 折起,使平面 ADE⊥平面 ABCD,得到如 图10所示的几何体。 04 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2024年2月 图10 (1)若 M 为 BD 的 中 点,求四棱锥 M-ABCE 的体 积。 (2)在线段 BD 上是否 存在一点M,使得平面MAC 与平面 ABCE 所成的锐二 面角的余弦值为 23 5 ? 如果存在,求出DM DB 的 值;如果不存在,请说明理由。 图11 9.如图11所示,在三棱台 ABC-DEF 中,G 为 AC 的 中 点,AC=2DF,AB⊥BC,BC⊥ CF。 (1)求 证:BC ⊥ 平 面 DEG; (2)若 AB=BC=2,CF⊥AB,平 面 EFG 与平面 ACFD 所成二面角的大小为 π 3 ,求三棱锥E-DFG 的体积。 图12 10.在如图12所示的圆锥 中,已知P 为圆锥的顶点,O 为 底面的圆心,其母线长为6,边 长为3 3的等边△ABC 内接 于圆锥底面,OD→=λOP→ 且λ∈ 1 2 ,1 。 (1)证明:平面DBC⊥平面DAO; (2)若E 为AB 的中点,射线OE 与底面 圆周交于点 M,当二面角A-DB-C 的余弦值 为 5 19 时,求点 M 到平面BCD 的距离。 图13 11.在梯形 ABCD 中,AB ∥CD,∠D=90°,AB=2 2, AD=DC= 2,如图13。现将 △ADC 沿对角线AC 折成直二 图14 面角 P-AC-B,如图14,点 M 在线段BP 上。 (1)求证:AP⊥CM; (2)若点 M 到直线AC 的距离为 25 5 ,求BM BP 的值。 12.如图15,三棱锥P-ABC 的底面为等 图15 腰直 角 三 角 形,∠A