内容正文:
■江苏省天一中学 孙承辉
在高考中,立体几何解答题通常以几何
体为背景,考查空间中几何元素的特殊位置
关系,以及空间角和距离的计算。因此,证明
与求值是其主要的考查形式。本文结合典型
例题对这部分内容的考查进行重点剖析,供
同学们复习时参考。
题型一、证明空间中的平行和垂直关系
空间中几何元素的特殊位置关系包括线
线、线面、面面平行和垂直关系,要解决这类
问题,首先,要做到准确识图,认清几何体的
特征,如直棱柱表明侧棱垂直于底面,即线面
垂直;其次,要熟悉相关的判定定理和性质定
理,能够灵活应用;最后,要明确上述定理成
立的条件,注意书写的规范性和严谨性。
图1
例 1 如图1所示,在
四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平
面 ABCD,AB ⊥AD,BC∥
AD,AB=BC=2,AD=3。
(1)设平面 PAD∩平面
PBC=l,求证:AD∥l。
(2)若 M 为PD 的中点,平面 ABM 与
平面BCM 有可能垂直吗? 请说明理由。
解析:(1)因 为 BC∥AD,BC⊂ 平 面
PBC,AD ⊄ 平 面 PBC,所 以 AD∥平 面
PBC。因为AD⊂平面 PAD,平面 PAD∩
平面PBC=l,所以AD∥l。
(2)因为PA⊥平面 ABCD,AB,AD⊂
平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD。
图2
又因为AB⊥AD,所以
以A 为坐标原点,建立如图
2所示的空间直角坐标系
A-xyz。
设 AP=2a,因为 AB
=BC=2,AD =3,所 以
A(0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),
M 0,
3
2
,a ,所 以 AM→= 0,32,a ,AB→=
(2,0,0),BC→ = (0,2,0),CM→ =
-2,-
1
2
,a 。
设平面ABM 的一个法向量为n=(x1,
y1,z1),则
AM→·n=32y1+az1=0,
AB→·n=2x1=0, 令z1=
3,得n=(0,-2a,3)。
设平面BCM 的一个法向量为m=(x2,y2,
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解题篇 经典题突破方法
高考数学 2024年2月
z2),则
BC→·m=2y2=0,
CM→·m=-2x2-
1
2y2+az2=0
, 令z2
=2,得m=(a,0,2)。
因为n·m=6≠0,所以当 M 为PD 的
中点,平面ABM 与平面BCM 不可能垂直。
点评:本题第一问先依据线面平行的判
定定理证明 AD∥平面 PBC,再根据线面平
行的性质定理证明即可。第二问根据点 A
处的三条棱AB,AD,AP 两两垂直,故以 A
点为坐标原点建立空间直角坐标系,利用坐
标法判断平面 ABM 与平面BCM 的法向量
是否垂直。
题型二、计算空间角和距离
以空间几何体为载体计算空间角和距离
一直是高考命题的重点,解题方法是通过空
间向量将空间几何问题坐标化,从而求异面
直线所成的角、直线与平面所成的角、二面
角,以及点到直线、点到平面的距离,这类题
目有一定的计算量,需要同学们耐心、细心地
进行计算。
图3
例 2 如图3,AD∥BC
且AD=2BC,AD⊥CD,EG
∥AD 且EG=AD,CD∥FG
且 CD =2FG,DG ⊥ 平 面
ABCD,DA=DC=DG=2。
(1)若 M 为CF 的中点,
N 为EG 的中点,求证:MN∥平面CDE;
(2)求平面BCE 和平面BCF 的夹角的
正弦值;
(3)若点P 在线段DG 上,且直线BP 与
平面ADGE 所成的角为45°,求点P 到平面
CDE 的距离。
图4
解析:(1)如图4,取GD
的中点为Q,连接 NQ,MQ。
因为 M 为CF 的中点,N 为
EG 的 中 点,Q 为 GD 的 中
点,由三角形及梯形中位线定
理,可 得 NQ∥ED,MQ∥
DC。又ED,DC⊂平面EDC,NQ,MQ⊄平
面EDC,所以 NQ∥平面 CDE,MQ∥平面
CDE。又NQ,MQ⊂平面 MNQ,NQ∩MQ
=Q,所以平面MQN∥平面CDE。又MN⊂
平面 MQN,所以 MN∥平面CDE。
(2)因为 DG⊥平面 ABCD,DA,DC⊂
平面 ABCD,所以 DG⊥DC,DG⊥DA。又
因为AD⊥DC,所以以D 为坐标原点,建立
图5
如图5所示的空间直角坐
标系 D-xyz,则 D(0,0,
0),A(2,0,0),C(0,2,0),
G(0,0,2),B (1,2,0),
E(2,0,2),F(0,1,2),所
以BC→=(-1,0,0),BE→=
(1,-2,2),BF→=(