12 高考中立体几何题的建系方法-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

■安徽省长丰县第一中学 鲍明娟 立体几何是高考的必考知识点,其中解 答题通常设置两问,第一问常考平行、垂直等 证明问题;第二问通常需要利用建系法解决 与角度、长度相关的计算问题。在每道小题 的设置上力求证明与求解并重。试题的命制 载体有倾向于不规则几何体的趋势,但仍以 “方便建系”为原则,重点考查运算及综合应 用的能力。因为建系的目的是将立体几何问 题转化为代数运算问题,所以我们建立一个 合适的空间直角坐标系以降低运算量是很必 要的。本文归纳了立体几何问题中常见的建 系方法,供同学们复习时参考。 方法一、利用共交点的互相垂直的三条 直线构建空间直角坐标系 在三维空间中,我们通常使用一个右手 定则来定义三个垂直的轴分别为x 轴,y 轴, z轴,这三个轴应当满足右手四指从x 轴正 方向按逆时针旋转45°或135°(直观图中)到 y 轴正方向时,大拇指所指方向是z 轴的正 方向,三条轴的公共交点就是空间直角坐标 系的坐标原点,简称右手空间直角坐标系。 图1 例 1 如图1,在直三 棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1 =AB =AC,AM→ =2MC→, C1N→=2NA1→。 (1)证 明:B1C∥平 面 BMN; (2)若BC= 3AB,求二面角B-MN-A 的余弦值。 图2 解析:(1)如图2, 延 长 MN,AA1 交于点P, 连接 PB,设 AB1∩PB =Q,连接 MQ,由 PA1 PA = NA1 MA = 1 2 ,可 知 PA = 2AA1,所以 QB1 QA= BB1 PA= AA1 PA = 1 2 。因为 MC AM= 1 2 ,所以AM AC = AQ AB1 = 2 3 。又∠MAQ =∠CAB1,所 以 △MAQ∽ △CAB1,所 以 MQ∥CB1。又因为CB1⊄平面BMN,所以 B1C∥平面BMN。 (2)因为 AB=AC, BC= 3AB,所以 ∠BAC=120°。在△ABC 内过点A 作AB 图3 的垂线Az,由直棱柱的定义 可得AA1⊥AB,AA1⊥Az。 以A 为坐标原点,建立如图 3所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz。 设 AB=3a,则 B(3a, 0,0),M(-a,0,3a),N - a 2 ,3a, 3a 2 , 所 以 BM→ = (-4a,0,3a),BN→ = - 7a 2 ,3a, 3a 2 ,所以可得平面BMN 的一 个法向量为n1= (23,3,8)。 又因 为 AM→=(-a,0,3a),AN→= - a 2 ,3a, 3a 2 ,所以可得平面 AMN 的一 个法向量为n2=(3,0,1)。 所以cos<n1,n2>= n1·n2 |n1||n2| = 14 2× 79 = 7 79 79 ,即二面角 B-MN-A 的余弦值为 7 79 79 。 点评:本题先由直棱柱的定义得出 AA1 是一条轴,接着只需在平面ABC 中找两条相 交垂直的直线即 可,而△ABC 是 等 腰 三 角 形,且BC= 3AB,易得∠BAC=120°,从而 确定垂直于AB 的直线Az 的位置。这样就 找到三条共交点A 的两两垂直的直线,最后 建系。我们一般取竖直向上方向为z 轴正方 向(如本题中取 Az),用右手大拇指指向z 轴,剩下两条直线四指从x 轴正方向(本题中 03 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年2月 AB)按逆时针方向转45°或135°(直观图中) 至y 轴正方向(本题中AA1),如图3建系。 方法二、利用线面垂直关系构建空间直 角坐标系 由线面垂直的定义可知,一条直线垂直 于平面,则这条直线垂直于平面内任意一条 直线。因此,我们选择这条直线为一条轴,再 在与它垂直的平面内找两条相交且垂直的直 线作为剩下两条轴,最后转化为共交点的三 条直线来建系。若不共交点,可以平移至共 交点来建系,但遵循的原则是让更多的点落 在轴上,以便于计算。 图4 例 2 如图4,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直 角梯形,AD⊥AB,AB∥DC,PA ⊥底面ABCD,E 为棱PC 的中 点,AD=DC=AP=2AB=2。 (1)证明:BE∥平面PAD。 (2)在棱PC 上是否存在点F,使得二面 角F-AD-C 的余弦值为 10 10 ? 若存在,求出 PF PC 的值;若不存在,请说明理由。 解析: (1)取PD 的中点为G,连接AG, 图5 EG,如图5,因为G 和E 分别为 PD 和 PC 的中点,所以 EG∥ CD,且 EG= 1 2CD 。又因为底 面 ABCD 是 直 角 梯 形,CD = 2AB,AB∥CD,所以 AB∥GE, 且AB=GE,所以四边形ABEG 为