10 理解中发展探究中提升——立体几何易错题扫描-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

■湖南省道县第一中学 刘 娟 立体几何是培养同学们的空间想象能力 和逻辑推理能力的一门学科,每年高考中立 体几何部分都占有重要的地位,但是在立体 几何的学习中,由于同学们对基本的概念认 识不清,缺乏一定的空间想象能力,或对问题 的思考不够严谨等,会导致解题出现错误。 下面举例说明。 易错点一、概念理解不到位致误 例 1 若直线l与平面α内的一条直 线平行,则l和α的位置关系是( )。 A.l⊂α B.l∥α C.l⊂α或l∥α D.l和α相交 错解:选A。 剖析:在直线与平面平行的判定定理中, 平面外一条直线与平面内一条直线平行,则 该直线与此平面平行,忽略了平面外这个重 要条件,本题中直线l与平面α 内的一条直 线平行,也可能l⊂α。 正解:由题意,直线l与平面α内的一条 直线平行,若l⊄α,由线面平行的判定定理, 则l∥α,也有可能l⊂α。故选C。 易错点二、斜二测画法中混淆原图与直 观图的关系致误 图1 例 2 如图1,△A'B'C' 是△ABC 用“斜二测画法”画出 的直观图,其中 O'B'=O'C'= 1,O'A'= 3 2 ,那么△ABC 的周 长是 。 错解:在△O'A'C'中,O'C'=1,O'A'= 3 2 ,∠A'O'C'=45°,由余弦定理得 A'C'2= O'C'2+O'A'2-2O'C'·O'A'cos 45°,得 A'C'= 6-1 2 。同 理 可 得 A'B'= 6+1 2 。 所以△ABC 的周长为 6-1 2 + 6+1 2 +2= 6+2。 剖析:错解把直观图直接当成原图了。 正解:斜二测直观图画法的原则:横坐标 不变,纵坐标减半,所以BC=2,OA=2OA' = 3。又因为 BC⊥OA,所以 AC=AB= 12+(3)2=2,因此△ABC 的周长为2+ 2+2=6。 易错点三、混淆几何体的表面积与侧面 积致误 图2 例 3 如图2所示的某粮仓(粮 仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥 构成,若圆柱的高是圆锥的高的2倍,且 圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则制作 这样一个粮仓的用料面积为( )。 A.4 15π B.(2 15+4)π C.(3 15+4)π D.(4 15+4)π 错解:设圆锥的底面半径为r,高为h,则 4πr=4π,解得r=1,所 以 h= 42-1= 15,圆柱的侧面积为2πr·2h=4 15π。 剖析:错解中只求了圆柱的侧面积,还需 加上圆锥的侧面积。 正解:前面同错解,得制作这样一个粮仓 的用料面积为(4 15+4)π。故选D。 易错点四、对定理的理解不透彻致误 图3 例 4 如图3,平面α∩ 平面β=直线l,直线b∥α,b∥ β,求证:b∥l。 错解: 在平面α 内作直线 m∥b,在平面β内作直线n∥b,故 m∥n。又 n⊂β,m⊄β,故m∥β。又m⊂α,α∩β=l,故 m∥l,则b∥l。 62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年2月 剖析:由于对直线和平面平行的性质定 理的理解不透彻,导致了直接出现“在平面α 内作直线m∥b,在平面β内作直线n∥b”这 样的错误,这里所作的辅助直线m,n,既要分 别在平面α,β内,又要平行于直线b,这样的 直线是客观存在的,但是凭空作出这样的辅 助线是不可能实现的。要根据线面平行的性 质定理,通过作辅助平面才能找到。 正解:如图3,过直线b作平面γ 和δ分 别交平面α,β于直线m,n。又b∥α,b∥β,故 b∥m,b∥n,所以m∥n。又m⊂α,α∩β=l, 所以m∥l,故b∥l。 易错点五、由于点、线共面构图不全致误 例 5 已知a,b,c,d 是两两相交且不 共线的四条直线,求证:a,b,c,d 共面。 图4 错解:如图4,设a∩d= A,确定平面α。设b∩d=B, b∩a=D,则B∈α,D∈α,因 此b⊂α。同理可得c⊂α。故 a,b,c,d 共面。 图5 剖析:错解漏掉了图5中 的“由三条直线共点”的情况, 从而因构图不全导致错误。 正解:(1)无三线共点的 情况,证明如错解。 (2)有三线共点情况。不妨设直线a,b, c相交于一点D,则D∉d,则点D 与直线d 确定一个平面α。设a∩d=A,则A∈d,于 是A∈α,又D∈α,故直线a⊂α。同理得b,c 都在平面α内,故a,b,c,d 共面。 综上可知,两两相交且不共线的四条直 线a,b,c,d 共面。 易错点六、平面几何的影响致误 图6 例 6 如图6,已知α∩β =l,PA⊥α于A,PB⊥β于B, AQ⊥l于Q。求证:BQ⊥l。 错解:因为α∩β=l,所以l ⊂α,l⊂β。又因为PA⊥α,所以 PA⊥l。又因为PB⊥β,所以PB⊥l。而PA∩ PB=P,所