09 了解知识本质巧用向量解题——空间向量的应用易错点扫描-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂 ■江苏省江安高级中学 郭喜红 在空间向量的学习中,有些同学不能正 确地理解空间向量的基础知识,或在某些概 念及公式的理解与应用上认识模糊,常常使 解题思路走入误区,现举例分析如下。 易错点一、忽视零向量致错 例 1 (多选)以下四个命题中错误的 是( )。 A.向量a,b,若a·b=0,则a⊥b B.对于空间向量m,n,p,若满足m∥n, n∥p,则m∥p C.对于空间向量m,n,p,若满足m=n, n=p,则m=p D.对于空间任意一点O 和不共线的三 点A,B,C,若OP→=2OA→-2OB→-OC→,则P, A,B,C 四点共面 错解:当a为零向量时,满足a·b=0, 但是a 与b 不垂直,故 A错误;由平行的传 递性知B正确;相等向量具有传递性,故C 正确;因为2-2-1=-1≠1,所以P,A,B, C 四点不共面,故D错误。故选AD。 剖析:在进行空间向量相关概念判断时, 要注意零向量的特殊性,如零向量与任意向 量平行等。 正解:当a为零向量时,满足a·b=0,但 是a与b不垂直,故A错误;当n为零向量时, m 与p不一定共线,故B错误;相等向量具有传 递性,故C正确;因为2-2-1=-1≠1,所以 P,A,B,C四点不共面,故D错误。故选ABD。 易错点二、忽视向量夹角的特殊情况致错 例 2 已知向量a=(5,3,1),b= -2,t,- 2 5 ,若a与b的夹角为钝角,求实 数t的取值范围。 错解:由已知得a·b=5×(-2)+3t- 2 5=3t- 52 5 ,因为a与b的夹角为钝角,所以 a·b=3t- 52 5<0 ,即t< 52 15 。 剖析:a 与b 的夹角为钝角与cos θ<0 不等价,事实上,当cos θ<0时,有θ为钝角 和θ=180°两种情形。 正解:由已知得a·b=5×(-2)+3t- 2 5=3t- 52 5 ,因为a与b的夹角为钝角,所以 a·b=3t- 52 5<0 ,即t< 52 15 。若a 与b的夹 角为180°,则存在λ<0,使得a=λb(λ<0), 即 (5,3,1)= λ -2,t,- 2 5 ,所 以 5=λ·(-2), 3=λ·t, 1=λ· - 2 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以t=- 6 5 ,故t的取值 42 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年2月 范围为 -∞,- 6 5 ∪ -65,5215 。 易错点三、忽略异面直线所成角与向量 夹角的关系致错 例 3 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=1,AA1=2,则异面直线 BD1 和B1C 所成的角的余弦值为( )。 A. 3 70 70 B.- 3 70 70 C.- 70 70 D. 70 70 图1 错解:以 D 为坐标原点, 建立如图1所示的空间直角 坐标系,则B(1,3,0),D1(0, 0,2),B1(1,3,2),C(0,3,0), 则BD1→=(-1,-3,2),B1C→ =(-1,0,-2),从 而 cos<BD1→,B1C→>= BD1→·B1C→ |BD1→||B1C→| = -3 14· 5 =- 3 70 70 。故选 B。 剖析:两异面直线所成的角的范围为 0, π 2 ,而两向量的夹角的范围为[0,π],错 解中误认为两向量的夹角就是两异面直线所 成的角。 正解:前面同错解,得cos<BD1→,B1C→>= BD1→·B1C→ |BD1→||B1C→| = -3 14· 5 =- 3 70 70 。又异 面直线 BD1 和 B1C 所成的角不可能为钝 角,其余弦值非负,所以异面直线 BD1 和 B1C 所成的角的余弦值为 3 70 70 。故选A。 易错点四、忽略两平面法向量的夹角与 二面角的平面角的关系致错 图2 例 4 如图2所示的几 何体是由棱台 ABC-A1B1C1 和棱锥D-AA1C1C 拼接而成 的 组 合 体,其 底 面 四 边 形 ABCD 是边长为2的菱形,且 ∠BAD=60°,BB1⊥平 面 ABCD,BB1= B1C1=1。求二面角A1-BD-C1 的余弦值。 错解:设BD 与AC 交于点O,以O 为坐 图3 标原点,OA 为x 轴,OD 为y 轴,建立如图3所示的空间 直角坐标系 O-xyz,z 轴显 然平 行 于 BB1。由 四 边 形 ABCD 是边长为2的菱形, 且∠BAD=60°,得OB=OD =1,OA=OC= 3,B(0,