08 建模推理，建系运算——基于立体几何的破解之道-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

■山东省济南市莱芜第一中学 唐 波 以空间几何体为母体,合理创设并设置 条件,借助逻辑推理来证明空间点、线、面等 之间的位置关系,或借助数学运算来求解空 间角或空间距离等问题,成为高考中考查空 间想象能力最为重要的一个场所。立体几何 解答题的基本命题模式是:(1)论证———逻辑 推理;(2)计算———数学运算。基于论证与计 算相结合,以某个空间几何体为依托,分步设 问,逐层加深,往往通过这两种基本命题模式 的交汇与综合来合理设置立体几何解答题。 解决高考试卷中的立体几何解答题的原则 是:以“建”来创设———建模推理、建系运算。 下面从这两个方面进行合理的逻辑推理与正 确的数学运算。 一、建模推理———推理论证问题 建模推理———将复杂的立体几何问题转 化为比较常见的几何模型,如平行模型、垂直 模型及平面化模型,进而通过平面几何与立 体几何中的相关定理,以及空间直线、平面之 间的平行(或垂直)的判定定理、性质定理等 的应用,结合合理的逻辑推理与正确的数学 运算来分析与解决。 图1 例 1 如图1,已知梯形 ABCD,ABEF 所在的平面互相 垂直,AB∥CD,AB∥EF,CD= EF=1,AB=AD=AF=2, ∠BAD=∠BAF= π 2 ,M 为棱 BE 的中点。 (1)求证:AF⊥平面ABCD。 (2)求二面角C-DF-B 的余弦值。 (3)试问:直线 AM 与平面DCEF 是否 相交? 若相交,求出 A 点与交点之间的距 离;若不相交,请说明理由。 分析:(1)根据题设条件,利用面面垂直 的性质,即可得以证明线面垂直问题;(2)通 过AD、AB、AF 两两互相垂直的确定,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,结合点的 坐标与空间向量的确定,进而求出平面CDF 和平面DFB 的法向量,利用向量关系即可求 出;(3)求出平面 DCEF 的法向量n,根据 AM→·n≠0判断直线AM 与平面DCEF 的 位置关系,最后利用空间距离公式求解即可。 解:(1)因为∠BAF= π 2 ,所 以 AF⊥ AB。又因为平面 ABCD⊥平面 ABEF,平 面 ABCD∩平面 ABEF=AB,AF⊂平面 ABEF,所以AF⊥平面ABCD。 (2)因 为∠BAD=∠BAF= π 2 ,所 以 AD,AB,AF 两两互相垂直。 图2 如图2所示,以A 为坐 标原点,AD,AB,AF 所在 直线 分 别 为x 轴,y 轴,z 轴,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz。 由CD=EF=1,AB= AD=AF=2,可知 A(0,0,0),C(2,1,0), D(2,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),则CD→= (0,-1,0),DF→=(-2,0,2),FB→=(0,2, -2)。 设n=(x,y,z)为平面CDF 的一个法 向量,则 n·CD→=-y=0, n·DF→=-2x+2z=0, 令 x=1, 得n=(1,0,1)。 设m=(x1,y1,z1)为平面DFB 的一个 法向量,则 m·FB→=2y1-2z1=0, m·DF→=-2x1+2z1=0, 令x1 =1,得m=(1,1,1)。 所 以 |cos<m,n>| = |m·n| |m||n| = 2 1+1+1× 1+1 = 6 3 。 由图2知二面角C-DF-B 为锐二面角, 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月 所以二面角C-DF-B 的余弦值为 6 3 。 (3)由A(0,0,0),M 0, 3 2 ,1 ,可得AM→ = 0, 3 2 ,1 。 由(2)得平面CDF 的一个法向量为n= (1,0,1),因为AM→·n=0×1+32×0+1×1 =1≠0,所以 AM 与平面DCEF 不平行,所 以直线AM 与平面DCEF 相交。 如图2,在四边形ABEF 中延长AM 交 FE 的延长线于点H,则 H 就是直线AM 与 平面DCEF 的交点。因为 M 为棱BE 的中 点,可知EH=AB=2,则FH=2+1=3,易 知 H(0,3,2),所以 AH= 02+32+22 = 13。 点评:依托于空间几何体的推理论证问 题,关键是构建线线平行(或垂直)、线面平行 (或垂直)、面面平行(或垂直)等之间的化归 与转化,通过线线⇆线面⇆面面,以正向判定 定理,逆向性质定理等方式加以综合与应用。 具体推理论证时,有时也要结合合理的数学 运算加以辅助说明,达到推理的目的。 二、建系运算———数学运算问题 建系运算———依托于立体几何问题中的 垂直条件,合理建立空间直角坐标系,利用空 间点的坐标的确定,以及对应空间向量的转 化,结合向量的运算与数量积等来数学运算, 进而得以推理与求解。有时也可以将空间图 形转化为平面图形