内容正文:
基于平面图形翻折 融入立体几何应用
■江苏省高邮中学 杨 欢
基于平面图形翻折成立体几何问题,是立
体几何应用中的一类重要题型,借助平面图形
的翻折,由“二维”上升到“三维”,进而依托平面
图形的一些信息与关系来确定空间图形中的位
置关系、数量关系等问题。具体解题时,要仔细
审视由平面图形的“二维空间”翻折成立体图形
的“三维空间”这一升维过程中,相应的边、角等
数量,以及对应的平行、垂直等几何特征的变化
规律,特别注意相应的点、直线、平面间的位置
关系,以及线段的长度、角度的变化等情况,结
合具体问题进行逻辑推理与数学运算。
一、翻折过程中线面关系的判定
对于平面图形的翻折,关键是合理构建
翻折后的空间几何图形,从中识别对应的空
间几何体的结构特征,并确定对应图形的点、
线、面等要素之间的关系,通过合理的平行、
垂直等关系进行逻辑推理与判定。
图1
例 1 如图1,在矩形
ABCD 中,满足AB=2AD,
E 是AB 的中点,沿 DE 将
△ADE 折起到△A1DE。
(1)如果二面角A1-DE-C
是直二面角,求证:A1B=A1C;
(2)如果A1B=A1C,求证:平面 A1DE
⊥平面BCDE。
分析:(1)根据题设条件,在平面图形的
翻折过程中,通过辅助线的构建,过点A1 作
A1M⊥DE 于点M,利用线面垂直的转化来
确定线线垂直,进而利用线面垂直的判定及
线线垂直的转化来证明两线段的长度相等;
(2)取BC 的中点为N,从平面几何图形的结
构特征入手,将线线垂直转化为线面垂直,进
一步过渡得以证明面面垂直。
图2
解:(1)如图2,过点A1
作 A1M ⊥DE 于 点 M,则
A1M ⊥ 平 面 BCDE,所 以
A1M ⊥ BC。 又 A1D =
A1E,则 M 是DE 的中点。
取BC 的中点为N,连接 MN,A1N,则 MN
⊥BC。又A1M⊥BC,A1M∩MN=M,所以
BC⊥平面 A1MN,即 A1N⊥BC。又 N 是
BC 的中点,所以A1B=A1C。
(2)取BC 的中点为N,连接A1N,由于
A1B=A1C,可得A1N⊥BC,取DE 的中点
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年2月
为M,连接 MN,A1M,所以 MN⊥BC。又
A1N∩MN=N,所以BC⊥平面A1MN,则
有A1M⊥BC。又 M 是DE 的中点,A1D=
A1E,可得A1M⊥DE。
又DE 与BC 是平面BCDE 内的相交直
线,则A1M⊥平面BCDE。又 A1M⊂平面
A1DE,所以平面A1DE⊥平面BCDE。
点评:在解决由平面图形翻折成空间几
何体后的线面平行或垂直关系的判定问题
时,关键是借助空间线面关系中的平行或垂
直关系,以及对应的定理、性质等,合理建立
对应的关系,进而结合逻辑推理或数学运算
等进行判定与应用。
二、翻折过程中数量关系的计算
通过平面图形的翻折,结合平面图形转
化为空间图形的构建,由“二维”升级为“三
维”,进而借助逻辑推理与数学运算等,通过
直观形象与数形结合思想来处理空间几何体
的表面积与体积,空间角,空间距离等数量关
系的计算。
图3
例 2 如 图3,在 梯 形
ABCD 中,AD=4,E 为AD 的
中点,且CE⊥AD,CE=BC=
图4
1。如图4,将△DEC 沿CE
翻折到△PEC,使得∠PEA
=
π
3
,连接PA,PB。
(1)求证:BE⊥PC;
(2)若Q 为线段PA 上一
点,满足AQ→=23AP
→,求三棱锥P-BCQ 的体
积。
分析:(1)根 据 题 意,证 得 CE⊥平 面
PAE,从而得到平面ABCE⊥平面PAE,取
AE 的中点为O,连接PO,OB,OC,证得PO
⊥平面ABCE,从而证得BE⊥平面POC,结
合线面 垂 直 的 性 质,即 可 证 得 BE⊥PC。
(2)由AQ→=23AP
→,利用体积之间的数量关
系,并结合棱锥的体积公式,即可求解。
解:(1)因为CE⊥AD,所以CE⊥AE 且
CE⊥PE。又因为PE∩AE=E,且PE,AE
⊂平面 PAE,所以CE⊥平面 PAE。因为
CE⊂平面 ABCE,所以平面 ABCE⊥平面
PAE。在梯形 ABCD 中,DE=2,所以 AE
=2,所以在四棱锥P-ABCE 中,PE=AE=
2。又因为∠PEA=
π
3
,所以△PEA 为正三
图5
角形。如图5,取AE 的中点
为O,连接PO,OB,OC,可得
PO⊥AE,OB⊥AE。因为平
面 ABCE⊥平面 PAE,平面
ABC