06 立体几何中的动态问题-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

■江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 李 杰 立体几何中的“动态”问题,是指空间图 形中的某些点、线、面的位置是不确定或可变 的一类开放性问题,因其中某些点、线、面的 位置不确定,往往成为同学们进行常规思考 与转化的障碍。但又因其是可变的、开放的, 更有助于同学们空间想象能力、综合思维能 力与创新应用能力等的培养,成为高考数学 试卷中创新命题的一个方向,备受各方关注。 一、位置的确定问题 图1 例 1 如 图1,在 梯 形 ABCD 中,AB∥CD,∠BCD= 2π 3 ,四边形 ACFE 为矩形,且 CF⊥平面ABCD,AD=CD= BC=CF=1。 (1)求证:平面EFD⊥平面BCF; (2)点 M 在线段EF 上运动,求当点 M 在什么位置时,平面 MAB 与平面FCB 所成 锐二面角的余弦值为 3 4 。 解析:(1)因为 AD=CD=BC,AB∥ CD,∠BCD= 2π 3 ,所以∠ADC= 2π 3 ,∠DCA =∠DAC= π 6 ,则有∠ACB= π 2 ,所以AC⊥ BC。因 为 CF⊥ 平 面 ABCD,AC⊂平 面 ABCD,所以 AC⊥CF。又 CF∩BC=C, CF,BC⊂平面BCF,则AC⊥平面BCF。而 EF∥AC,所以EF⊥平面BCF。而EF⊂平 面EFD,所以平面EFD⊥平面BCF。 (2)以C 为坐标原点,CA,CB,CF 所在 图2 直线 分 别 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图2所示的空间 直角坐标系C-xyz。 由于AD=CD=BC= CF=1,则AB=2,结合余弦 定理有 AC2=AB2+BC2- 2AB·BC·cos π 3=3 ,所以AC= 3,则EF =AC= 3。 设FM=λ(0≤λ≤ 3),则C(0,0,0), A(3,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),所以AB→ =(- 3,1,0),BM→=(λ,-1,1)。 设n=(x,y,z)为平面 MAB 的一个法 向量,则 n·AB→=- 3x+y=0, n·BM→=λx-y+z=0, 令x=1, 得n=(1,3,3-λ)。 易知m=(1,0,0)为平面FCB 的一个法 向 量,所 以|cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= 1 1× 1+3+(3-λ)2 = 3 4 ,解得λ= 53 3 或 3 3 ,而0≤λ≤3,所以λ= 3 3 ,所以FM EF= 1 3 ,即 M 在线段EF 靠近点F 的三等分点处时,平面 MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为 3 4 。 点评:要确定立体几何中的“动态”问题 中对应动点的位置,合理引入参数,结合线段 长度的变量,从代数的视角切入,利用向量的 数量积加以转化,通过合理的逻辑推理与数 学运算来求解对应的参数值,进而得以确定 相应动点的位置情况。以“数”的运算形式来 确定“形”的动态变化情况。 二、轨迹的判定问题 图3 例 2 如图3所示,在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,E 为棱DD1 的 中点,F 是正方形CDD1C1 内部(含边界)的一个动点, 且B1F∥平面A1BE。 (1)求动点F 的轨迹长度; (2)求平面A1BE 与平面ABCD 夹角的 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月 正切值。 图4 解析:(1)如图4,取C1C 的中点为P,C1D1 的中点为 Q,连接B1P,B1Q,PQ。由 于 B1P∥A1E,B1P⊄平面 A1BE,A1E⊂平面 A1BE, 所以B1P∥平面 A1BE。同 理,证得PQ∥平面 A1BE。而PQ∩B1P= P,所以平面B1PQ∥平面A1BE。而B1F∥ 平面 A1BE,所 以 B1F⊂ 平 面 B1PQ。而 F∈平面CDD1C1,则知F∈PQ,即动点F 的 轨迹为线段PQ。而PQ= 1 2CD1= 2 ,所以 动点F 的轨迹长度为2。 (2)由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 平面B1PQ∥平面A1BE,所以平面A1BE 与 平面ABCD 的夹角即为平面A1B1C1D1 与 平面 B1PQ 的夹角。而平面 A1B1C1D1 与 平面B1PQ 的交线为B1Q,过点C1 作C1H ⊥B1Q,交B1Q 于点H,如图4,设 HQ=a, 则1-a2=4-(5-a)2,解得a= 5 5 。同 理,过点P 作PG⊥B1Q,交B1Q 于点G,可 得QG= 5 5 ,即点 H 与点G 重合。 所以∠C1HP 为所求二面角的平面角, 则有tan ∠C1HP= C1P C1H = 1 1-a2 = 5 2 。 点评:要判定立体几何中的“动态”问题 中对应动点的轨迹及其相应问题,关键是结 合立体几何中动点的变化规律,合理挖掘内 涵,通过定义法、直接法、性质