04 立体几何中的探索型问题及应用-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

■山东省阳谷县第一中学 宁广亮 探索型问题是指那些题目条件不完备、 结论不明确,或者答案不唯一,给考生留有较 大探索余地的试题。而立体几何中的探索性 问题,设置新颖,变化多端,不仅可以考查和 区分考生的数学素质和创新能力,而且还可 以有效地检测和区分考生的学习潜能,因而 受到各方面的重视,近年来已成为高考试题 的一个新亮点。 一、条件探索型问题 立体几何中的条件探索型问题,是针对结 论确定而条件未知需探求,或条件增删需确定, 或条件正误需判断。其解题思路是:先执果索 因,再倒推分析,逆向思维探究结论成立的充分 条件。解决立体几何此类问题时,通常利用空 间向量来逆推,目标明确,要注意推理过程是否 可逆,不要把必要条件当作充分条件。 图1 例 1 如图1,AB 为圆O 的直径,点E,F 在圆O 上,且四 边形 ABEF 为等腰梯形,矩形 ABCD 和圆O 所在的平面互相 垂直,已知AB=2,EF=1。 (1)求证:平面 DAF⊥平 面CBF; (2)求 当 AD 的 长 为 何 值 时,二 面 角 D-FC-B 的大小为120°。 解析:(1)因 为 平 面 ABCD ⊥ 平 面 ABEF,且 CB⊥AB,平 面 ABCD ∩ 平 面 ABEF=AB,所以CB⊥平面ABEF。因为 AF⊂平面 ABEF,所以CB⊥AF。又因为 AB 为圆O 的直径,所以FB⊥AF。而CB∩ 图2 FB =B,所 以 AF ⊥ 平 面 CFB。又AF⊂平面ADF,所 以平面ADF⊥平面CFB。 (2)设EF,CD 的中点分 别为G,H,以O 为坐标原点, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz,如图2所示。设AD=t,则D(1,0, t),C(-1,0,t),A(1,0,0),B(-1,0,0), F 1 2 ,3 2 ,0 ,所 以 CD→=(2,0,0),FD→= 1 2 ,- 3 2 ,t 。 设平面DCF 的法向量为n1=(x,y,z), 则 n1·CD→=2x=0, n1·FD→= 1 2x- 3 2y+tz=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 取z= 3, 得x=0,y=2t,则n1=(0,2t,3)。 由(1)知 AF⊥平面CFB,则平面CFB 的一个法向量为n2=AF→= -12, 3 2 ,0 ,故 |cos<n1,n2>|= |n1·n2| |n1||n2| = |3t| 4t2+3 。 因为二面角D-FC-B 的大小为120°,所 以 1 2= |3t| 4t2+3 ,解得t= 6 4 。 所以当线段 AD 的长为 6 4 时,二面角 D-FC-B 的大小为120°。 点评:解决立体几何中的条件探索型问 题,有三种比较常用的思维方式:(1)先猜后 证,即先观察与尝试给出条件再证明。(2)先 通过命题成立的必要条件探索出命题成立的 条件,再证明其充分性。(3)把几何问题转化 为代数问题,探索命题成立的条件。根据具 体问题场景,合理选取适合的方法来应用。 二、存在探索型问题 立体几何中的存在探索型问题,是以结 论不确定的存在性判断的形式来设置问题。 这类问题常常出现“是否存在…”“是否有…” 等形式的疑问句,以示结论有待确定。解答 此类问题的思路是:先肯定结论,再进行推 理,若推出矛盾,则否定假设;若推出合理结 果,则假设成立。解决此类问题的三个基本 步骤是:假设———推证———定论。 11 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月 图3 例 2 如图3,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是线段AC,AB 上的点,满足 DE∥BC 且AD=2CD,如图4,将 △ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的 图4 位置,使 A1C⊥CD,M 是A1D 的中点。 (1)求CM 与平面A1BE 所 成角的大小。 (2)在线段A1B 上是否存在 点N(N 不与端点A1,B 重合), 使平面CMN 与平面DEN 垂直? 若存在, 求出 A1N BN 的值;若不存在,请说明理由。 解析:(1)在Rt△ABC 中,∠C=90°,DE∥ BC,所以DE⊥AD,DE⊥CD。因为折叠前后 对应角相等,所以 DE⊥A1D,DE⊥CD。又 A1D∩CD=D,A1D,CD⊂平面 A1CD,所以 DE⊥平面A1CD,DE⊥A1C。又A1C⊥CD, CD∩DE=D,所以A1C⊥平面BCDE。 图5 以 C 为 坐 标 原 点,CD, CB,CA1 所 在 直 线 分 别 为 x 轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐 标系C-xyz,如图5所示。 因为AD=2CD,故DE= 2 3BC=2 ,由几何关系知CD= 2,A1D=AD=4,A1C=23,故C(0