内容正文:
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陕西省礼泉县第一中学 康锋艳
立体几何是高中数学的主干知识之一,
重点研究现实世界中物体的形状、大小与位
置关系。立体几何是培养同学们空间想象能
力的主要素材,用直观感知、操作确认、推理
论证、度量计算的方式认知和探索空间图形
的性质,因而是高考的必考点和热点。纵观
近几年高考试题,解答题本着“大稳定,小创
新”的原则与设计理念,考查方式稳中有新,
本文结合最新模考试题探索命题趋势,希望
能为同学们的备考提供一些帮助。
考向一、立体几何中的探索性问题与开
放问题
图1
例 1 如图1所示,在四
棱锥 P-ABCD 中,BD⊥PC,
∠ABC=60°,四 边 形 ABCD
是菱形,PB= 2AB= 2PA,
E 是棱PD 上的动点,且PE→=
λPD→。
(1)证明:PA⊥平面ABCD。
(2)是否存在实数λ,使得平面PAB 与
平面ACE 所成锐二面角的余弦值为
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?
若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由。
解析:(1)因为四边形ABCD 是菱形,所以
BD⊥AC。因 为 BD⊥PC,AC,PC⊂平 面
PAC,且AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC。
因为PA⊂平面PAC,所以BD⊥PA。因为
PB=2AB=2PA,所以PB2=AB2+PA2,即
AB⊥PA。因为AB,BD⊂平面ABCD,且AB
∩BD=B,所以PA⊥平面ABCD。
(2)取CD 的中点为 F,连接 AF,易证
图2
AB,AF,AP 两两垂直,故以A
为坐标原点,AB,AF,AP 所在
直线分别为x轴,y轴,z轴,建
立如图2所示的空间直角坐标
系A-xyz。设AB=2,则A(0,
0,0),C(1,3,0),D(-1,3,0),
P(0,0,2),所 以 AC→ = (1,3,0),PD→ =
(-1,3,-2),AP→=(0,0,2),所以AE→=AP→+
PE→=AP→+λPD→=(-λ,3λ,2-2λ)。
设平面ACE 的法向量为n=(x,y,z),
则
n·AC→=x+ 3y=0,
n·AE→=-λx+ 3λy+(2-2λ)z=0, 令
x= 3,得n= 3,-1,
3λ
1-λ 。
平面PAB 的一个法向量为m=(0,1,
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知识篇 科学备考新指向
高考数学 2024年2月
0),设平面PAB 与平面ACE 所成的锐二面
角 为 θ,则 cos
θ =|cos<n,m>|=
n·m
|n||m| =
1
4+
3λ2
λ2-2λ+1
=
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,整理
得3λ2+2λ-1=0,解得λ=
1
3
或λ=-1(舍去)。
故存在实数λ=
1
3
,使得平面PAB 与平
面ACE 所成锐二面角的余弦值是
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。
评注:探索性或开放性问题,立意新颖,是
从高层次上考查同学们的创造性思维能力,此
类题目的条件或结论不完备,需要同学们自己
去探索。一般分为条件探索型、结论探索型、存
在探索型,而空间向量是解决此类问题的有力
工具。对于条件探索型的基本策略是:执果索
因,先寻找结论成立的必要条件,再通过检验或
论证找到结论成立的充分条件;对于结论探索
型的基本策略是:先探索结论而后去论证结论,
在探索过程中常可先从特殊情形入手,通过观
察、分析、归纳、判断进行猜测,得出结论,再就
一般情形去论证结论;对于存在探索型的基本
策略是:先假设结论成立,再把该结论作为一个
已知条件,列出方程或方程组,将几何存在问题
转化为代数方程是否有解的问题。
考向二、立体几何中的折叠与展开问题
图3
例 2 如图3所示,在矩形
ABCD 中,AB=2AD=22,E 为
线段 DC 的中点,△ADE 沿直线
AE 折起,使得DC=6,如图4。
图4
(1)求 证:BE ⊥ 平 面
ADE。
(2)在线段AB 上是否存
在一点 H,使得平面ADE 与
平面DHC所成的角为
π
4
? 若
不存在,说明理由;若存在,求出点H 的位置。
解析:(1)如图5,连接BE,取线段AE 的
中点O,连接DO,OC,在Rt△DAE 中,DA=
DE= 2,所以 DO⊥AE,DO=1。在△OEC
中,OE=
1
2AE=1
,EC= 2,∠OEC=
3π
4
,由
图5
余弦定理得OC2=1+2+2×
1× 2×
2
2 =5
,所以 OC=
5。
在△DOC 中,DC2=6=
DO2+OC2,所以 DO⊥OC。又AE∩OC=
O,AE,OC⊂平面 ABCE,所以 DO⊥平面
ABCE。又DO⊂平面ADE,所以平面ADE