02 立足于情境凸显应用性——以空间几何中常见的问题情境为例-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

立足于情境 凸显应用性 ———以空间几何中常见的问题情境为例 ■陕西省西安市曲江第一中学 李 敏 在“三新”背景下,高考试题突出对应 用性的考查,强调学以致用,通过创设自然 真实的生活实践、学习探索等问题情境,将 理论知识与实际问题相结合,考查同学们 运用所学知识方法分析问题、解决问题的 能力。三维空间是人类生存的现实空间, 蕴含着丰富的几何图形,同学们在复习备 考的过程中应注重创设真实情境,用数学 语言对某些位置关系进行描述或者论证, 培养和 发 展 空 间 想 象 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力,凸显数学的应用性。 考向一、经验型生活情境 图1 例 1 如图1是一个装有 水的全封闭直三棱柱容器ABC- A1B1C1,∠ABC = π 2 ,AC = AA1=8,若水的体积恰好是该 容器体积的一半,容器厚度忽略 不计,则下列结论错误的是( )。 A.转动容器,当平面AA1C1C 水平放置 时,容器内水面形成的截面为DEFG,则D, E,F,G 都是所在棱的中点 B.当底面AA1C1C 水平放置后,将容器 绕着CC1 转动(转动过程中CC1 始终保持水 平),有水的部分是棱柱 C.在翻滚、转动容器的过程中,有水的部 分不可能是三棱锥 D.容器中水的体积与直三棱柱外接球 体积之比至多为 32 16π 图2 解 析:如 图 2,当 平 面 AA1C1C 水 平 放 置 时,假 设 D,E,F,G 都为所在棱的中 点,设水面到底面的距离为h, AB=a,BC=b,则水的体积 V=S△ABC·CC1- 1 2 ·1 2a ·1 2b ·CC1=4ab -ab=3ab,又因为转动前水的体积为V= S△ABC· CC1 2 = 1 2ab×4=2ab<3ab ,所以D, E,F,G 不为所在棱的中点,故A错误。 图3 如图3,当平面 AA1C1C 水平放置时(CC1 始终保持水 平),则 平 面 ABC ∥ 平 面 A1B1C1,所以有水的部分是 棱柱,故B正确。 在翻滚、转 动 容 器 的 过 程 中,当 平 面 A1BC 水平放置时,三棱锥 A1-ABC 的体积 图4 取 到 最 大 值,如 图 4,此 时 VA1-ABC= 1 3S△ABC ·AA1= 1 3× 1 2×ab×8= 4 3ab ,而水的体积 为V=2ab> 4 3ab ,所以有水的 部分不可能是三棱锥,故C正确。 图5 如图5,取 AC,A1C1 的中 点为 D,D1,连接 DD1,取 DD1 的中点为O,连接OA,则 D 为 Rt△ABC 的外接圆的圆心,O 为三棱柱ABC-A1B1C1 的外接 球的球心,所以OA 为外接球的 半径,且OA= 42+42=4 2,所以直三棱 柱的 外 接 球 的 体 积 V球 = 4 3πR 3= 4 3π · (42)3= 5122 3 π 。由选项 A 可知,容器中 水的体积为V水=2ab,又a2+b2=82=64,所 以64=a2+b2≥2ab⇒ab≤32,当且仅当a= b=42时等号成立,所以V水=2ab≤64,则 水的体积与直三棱柱的外接球的体积之比为 2ab 5122 3 π ≤ 64 5122 3 π = 32 16π ,即容器中水的体 积与直三棱柱的外接球的体积之比至多为 32 16π ,故D正确。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年2月 故选A。 评注:该题是源于生活的立体几何问题,要 求同学们结合生活经验,构建出容器在不同的 摆放情况下水形成的几何体,直击直观想象素 养。综合考查棱柱、棱锥、棱台的概念和体积公 式,几何体的外接球,以及利用基本不等式求最 值等相关知识。难点在于同学们要在具体情境 中提炼并分析问题,准确地转换为数学问题,并 利用立体几何的相关知识解决问题。 考向二、应用型生活情境 图6 例 2 图6为三角形 简易遮阳棚,其中 AC=3, BC=4,AB=5,若 A,B 是 地面上南北方向上的两个定 点,正西方向射出的太阳光线与地面成30° 角。试问:遮阳棚 ABC 与地面成多大角度 时,才能使所遮影面 ABD 的面积最大? 最 大面积是多少? 解析:因为AC=3,BC =4,AB=5,所 以△ABC 是直角三角形。由点C 引AB 的 垂线,垂足为Q,连接CQ, DQ。因为CD⊥ AB,所以 AB⊥平面 CQD。又 AB⊆平面 ABD,所以平面CQD⊥平面ABD,所以QD 为CQ 在面ABD 上的射影,所以∠CDQ 为 太阳光线与地面所成的角,∠CQD 为遮阳棚 与地面所成的角。在△CQD 中,由正弦定理 知 CQ sin 30°= QD sin ∠QCD ,又 CQ= 12 5 ,所 以 QD= 24 5×sin