01 “立体几何”专题考向分析-《中学生数理化》高考数学2024年2月刊

■陕西省礼泉县教研室 陈银会 立体几何是高中数学的重点内容,是考 查空间想象能力的主要载体。高考主要考查 三视图,柱、锥、台、球的表面积和体积,直线 与直线、直线与平面、平面与平面的位置关 系,空间向量等知识。为了帮助同学们科学 有效地备考立体几何内容,本文结合最新模 考试题对立体几何问题的考向进行分析。 考向一、空间几何体的基本结构与度量 的考查 该考向的主要内容有简单多面体(棱柱、 棱锥、棱台)与简单旋转体(圆柱、圆锥、圆台、 球)的概念及性质,三视图与直观图,空间几 何体的表面积与体积计算。 1.与三视图结合考查空间几何体的度量 图1 例 1 如图1,网格 纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几 何体的三视图,其中俯视 图为扇形,则该几何体的 体积为( )。 A. 2π 3 B. 4π 3 C. 14π 3 D. 16π 9 解析:由三视图知该几何体是一个圆锥 的一部分,由俯视图知,底面扇形的圆心角为 120°,底面圆的半径为2,由侧(左)视图知该 几何体的高为3,所以该几何体的体积V= 120 360× 1 3×π×2 2×3= 4π 3 。故选B。 提醒:由几何体的三视图求其表面积或 体积问题,一般分两步:(1)分析三视图确定 几何体中各元素之间的位置关系及度量大 小;(2)还原几何体的直观图,套用相应的面 积或体积公式。 而由三视图还原几何体可借 助于长(正)方体,利用交轨思想,找到几何体 的各个顶点,这是突破解题难点的有效方法。 2.与球有关的组合体问题 例 2 已知正四棱锥的高为h,其各顶 点都在同一球面上。若该球的体积为36π, 且 3 2≤h≤ 9 2 ,则该正四棱锥的体积的取值范 围为( )。 A.18, 81 4 B.274,814 C.274 ,64 3 D.[18,27] 解析:因为球的体积为36π,所以球的半 径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a,由球 的截面性质得(h-3)2+(2a)2=9,即2a2 =-h2+6h,所以正四棱锥的体积V= 1 3× 4a2×h=- 2 3h 3+4h2,求导得V'=-2h2+ 8h=-2h(h-4)。当 3 2≤h≤4 时,V'>0; 当4≤h≤ 9 2 时,V'<0。所以当h=4时, Vmax= 64 3 。又当h= 3 2 时,V= 27 4 ,当h= 9 2 时,V= 81 4 ,所以Vmin= 27 4 。所以该正四棱锥 的体积的取值范围为 27 4 ,64 3 。故选C。 提醒:对于球与旋转体的组合问题,通常 是作它们的轴截面;对于球与多面体的组合 问题,通常是过多面体的一条侧棱和球心,或 过“切点”“接点”作出截面图,把空间问题转 化为平面问题进行解决。 考向二、空间点、直线、平面位置关系的 考查 该考向的主要内容有直线与直线、直线 与平面、平面与平面平行或垂直关系的判定, 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年2月 异面直线所成的角,直线与平面所成的角,两 平面所成的二面角。 1.利用综合法通过推理进行判断 图2 例 3 (多选)如图2, 点 P 在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的面对角线BC1 上运动,则在点P 运动的过 程中,下 列 说 法 正 确 的 是 ( )。 A.三棱锥 A-D1PC 的 体积不变 B.A1P∥平面ACD1 C.DP⊥BC1 D.平面PDB1⊥平面ACD1 图3 解析:对于选项A,如图 3,由题意知 AD1∥BC1,又 AD1⊂平面AD1C,BC1⊄平 面 AD1C,所以 BC1∥平面 AD1C,故 BC1 上任意一点 到平面 AD1C 的距离 均 相 等,所以以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面的三棱锥A-D1PC 的体积不 变,故A正确;对于选项B,连接A1B,A1C1, 则A1C1∥AC,易知A1C1∥平面AD1C,由选 项A知BC1∥平面AD1C,又A1C1∩BC1= C1,所以平面BA1C1∥平面ACD1,又A1P⊂ 平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,故B正 确;对于选项C,由于DC⊥平面BCC1B1,所 以DC⊥BC1,若 DP⊥BC1,则 BC1⊥平面 DCP,BC1⊥PC,则P 为中点,与P 为动点 矛盾,故C错误;对于选项 D,连接 DB1,由 DB1⊥AC 且DB1⊥AD1,可得 DB1⊥平面 ACD1,从而由面面垂直的判定定理知平面 PDB1⊥平面ACD1,故D正确。故选ABD。 提醒:以空间点、直线、平面的位置关系 为基础,建立和形成以公理、定义、判定、性质 为主线的立体几何知识体系是进行空间线面 位置关系判断的前提,常用的方法有:①根据 定理逐项判断,可以举