12 从全国三道三角函数与导数综合问题谈起-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

乱花渐欲迷人眼，透过现象看本质 ——从全国卷三道三角函数与导数综合问题谈起 ■南京市溧水区第二高级中学 蒋桃俊 函数与导数是高中数学的核心知识,是 历年高考考查力度最大的主线之一,也是数 学思想方法与能力、学科核心素养的载体。 三角函数与导数的综合问题,在高考卷中往 往以压轴题的形式呈现,由于此类问题立意 新颖、灵活多变,创新性与综合性并存,与常 规导数问题有所区别,对同学们有很大的挑 战。它体现高考的选拔功能,实现命题“能力 立意”向“素养导向”转变,因此备受命题者青 睐。因为三角函数与其他函数综合,其导函 数一般情况下不是多项式类型(多次求导也 不行),所以一般无法求出零点(原函数极值 点),只能以隐零点的形式存在,形成思维障 碍,而同学们对其并没有形成好的处理方法 和策略,很多时候会束手无策。事实上,虽然 函数模型发生了变化,但是其数学本质并没 有变,加上三角函数的特殊性(单调性、奇偶 性、有界性、周期性等),倘若我们能够充分挖 掘,掌握一些常用的方法策略,还是能够找到 解决此类问题的突破口的。下面以全国卷中 三角函数与导数综合的三道试题为例,总结 出在解题过程中常用的一些处理方法,以期 抛砖引玉,启发同学们对此类问题解决策略 的进一步思考。 例 1 (2023年全国新课标Ⅱ卷第22题) (1)证 明:当0<x<1 时,x-x2< sin x<x; (2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1- x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a 的取 值范围。 解析:(1)记g(x)=sin x+x2-x,则 g'(x)=cos x+2x-1,g″(x)=-sin x+ 2>0。 所以 g'(x)在(0,1)上 为 增 函 数,即 g'(x)>g'(0)=0,从而g(x)在(0,1)上为 增函数,g(x)>g(0)=0,也即sin x+x2- x>0。 因此,x-x2<sin x。 记h(x)=sin x-x,则h'(x)=cos x- 1<0。 所以 h(x)在(0,1)上 为 减 函 数,即 h(x)<h(0)=0,也即sin x-x<0,sin x< x。 综上,当0<x<1时,x-x2<sin x< x。 (2)易知f(x)=cos ax-ln(1-x2),其 定义域为x∈(-1,1)。 则f'(x)=-asin ax+ 2x 1-x2 ,f″(x)= -a2cos ax+ 2+2x2 (1-x2)2 。 ①若 f″(0)≥0,且 -a2+2≥0,即 - 2≤a≤ 2。 因为-a2cos ax≥-a2, 2+2x2 (1-x2)2 ≥2+ 2x2≥2,所以 f″(x)≥2-a2≥0,f'(x)在 (-1,1)上为增函数。 又f'(0)=0,故 当 -1<x<0 时, f'(x)<0;当0<x<1时,f'(x)>0。 故f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1) 上单调递增。 所以x=0是f(x)的极小值点,不符合 题意。 ②若f″(0)<0,且-a2+2<0,即a< - 2或a> 2。 f‴(x)=a3sin ax+ 4x(3+x2) (1-x2)3 。 当a> 2时,取0<x< 1 a ,a3sin ax>0, 4x(3+x2) (1-x2)3 >0,则 f‴(x)>0,f″(x)在 0, 1 a 上单调递增。 若f″ 1 a ≤0,则f″(x)<0,故f'(x)在 43 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年2月 0, 1 a 上单调递减。 因为f'(0)=0,所以f'(x)<0,f(x)在 0, 1 a 上单调递减。 因为 f(x)为 偶 函 数,所 以 f(x)在 - 1 a ,0 上单调递增。 所以x=0是f(x)的极大值点,符合题意。 若f″ 1 a >0,则存在ξ∈ 0,1a ,使得 f″(ξ)=0。当0<x<ξ时,f″(x)<0,f'(x) 在(0,ξ)上为减函数。 因为f'(0)=0,所以f'(x)<0,f(x)在 (0,ξ)上单调递减。 因为f(x)为偶函数,所以f(x)在(-ξ, 0)上单调递增。 所以x=0是f(x)的极大值点,符合题意。 当a<- 2,取0<x<- 1 a ,同理可证。 综上,若x=0是f(x)的极大值点,则a 的取值范围为(-∞,- 2)∪(2,+∞)。 说明:第一问中,先后利用了正弦函数和 余弦函数的有界性(|sin x|≤1和|cos x|≤ 1),得到g″(x)和h'(x)的符号,这是处理三 角函数与导数问题的常用方法。该小问的背 景是正 弦 函 数 在 x=0 处 的 泰 勒 展 开 式 sin x=x- x3