11 挖据条件内涵选择合适路径-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

■安徽省宁国中学 陈晓明 在平时考试中,不少同学对题目条件不 知如何处理,从而造成解题受阻,失分现象严 重。如何解决这样的问题呢? 下面通过实例 说明解题要注重对题目条件内涵的挖掘,选 择合适的路径解决问题,我们的解题水平得 到提高,才能笑傲考场! 例 1 (安徽省2022年高考考前适应 性考试理科数学第11题) 已知F1、F2 是椭 圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,点 M 为椭圆E 上一点,点 N 在x 轴上,满足 ∠F1MN=∠F2MN=60°,若3MF1→+5MF2→ =λMN→,则椭圆E 的离心率为( )。 A. 7 8 B. 8 9 C. 22-1 2 D. 26-1 4 图1 解析:如图1所 示,要求椭圆E 的离 心率,就是要构建关 于椭 圆 中 的 基 本 量 a,b,c的方程。于是 想到在△MF1F2 中 利用 正 弦 定 理 或 余 弦定理解决问题,只需求出|MF1|,|MF2|的 长 即 可。由 已 知 条 件 可 判 断 MN 为 ∠F1MF2 的角平分线,且∠F1MF2=120°, 这与后面的条件“3MF1→+5MF2→=λMN→”有 什么关系呢? 条件“3MF1→+5MF2→=λMN→” 有什么用呢? 于是还要从角平分线着手分析,三角形 的角平分线有什么性质? (1)角平分线上的 点到 角 两 边 的 距 离 相 等,于 是 想 到 作 出 △MF1F2 中点 N 到两边 MF1,MF2 的距 离,可这个结论好像与条件“3MF1→+5MF2→= λMN→”联系不上,此路不通。(2)如图1,在 △MF1F2 中, |MF1| |MF2| = |F1N| |NF2| ,这个结论好 像也与条件“3MF1→+5MF2→=λMN→”联系不 上。(3)还有什么性质? 到底选择哪条路径? 图2 再 从 条 件 “3MF1→+5MF2→ = λMN→”进 行 研 究。 不 妨 令 3MF1→ = MP→,5MF2→=MQ→, 则 MP→ + MQ→ = λMN→,这意味着什 么? 如图2所示,分别以 MP,MQ 为邻边构 造平行四边形,由向量加法的平行四边形法 则得 MP→+MQ→=MA→,所以 MA→=λMN→,即 MA→∥MN→,故 M,N,A 三点共线。 而 MN 为∠PMQ 的 角 平 分 线,所 以 MPAQ 为菱形,|MP→|=|MQ→|,即|3MF1→| =|5MF2→|。由椭圆定义知|MF1→|+|MF2→| =2a,故|MF1→|= 5a 4 ,|MF2→|= 3a 4 。 又∠F1MF2=120°,由余弦定理得|F1F2|= 25a2 16 + 9a2 16-2× 5a 4 ·3a 4 · - 1 2 =7a4 = 2c,所以e= c a= 7 8 ,即椭圆E 的离心率为 7 8 , 正确答案是A。 13 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年2月 点评:由上述解法知,解决问题的关键是 挖掘条件“3MF1→+5MF2→=λMN→”的内涵,此 条件其实就是告诉我们|3MF1→|=|5MF2→|, 而得到这个结论需要利用向量的平行四边形 法则、共线向量定理、菱形的性质等知识,体 现了在知识的交汇处命题的思想。 变式 (2022年江西省九校高三联合考 试) 已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0), 其左、右焦点分别为 F1(- 7,0)、F2(7, 0),点 P 是双曲线右支上的一点,点I 为 △PF1F2 的 内 心 (内 切 圆 的 圆 心),PI→= xPF1→+yPF2→。若∠F1PF2=60°,y=3x,则 △PF1F2 的内切圆的半径为( )。 A. 43 3 -2 B. 43- 21 3 C. 4- 7 3 D.2+ 23 3 图3 解析:如图3所示,已 知PI→=xPF1→+yPF2→,结 合点I 是△PF1F2 的内 切圆的圆心,可知|xPF1→| =|yPF2→| 。 又y=3x,故|PF1→| =3|PF2→|。 再结合双曲线的定义可得|PF1→|=3a, |PF2→|=a。 再根据∠F1PF2=60°,由余弦定理得 (27)2=9a2+a2-2×3a×a·cos 60°,解 得a=2。 由等面积法得S△PF1F2= 1 2|PF1||PF2| · sin∠F1PF2= 1 2 (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r (r为内切圆半径),即6×2sin 60°=(6+2+ 27)·r,解得r= 43- 21 3 。 故△PF1F2 的内切圆的半径为 43- 21 3 , 正确答案是B。 例 2 (安徽