08 极值点偏移一击必中-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

■河南省濮阳市第一高级中学 袁 媛 极值点偏移问题是高考考查的重难点, 通常作为压轴题出现,往往对思维要求较高, 解题过程较为烦琐,难度较大,同学们处理起 来比较困难,甚至无从下手。此类问题以导 数为背景考查同学们运用函数与方程、数形 结合、转化与化归思想解决函数问题的能力, 层次性强。下面通过一题多解,系统地讲解 处理极值点偏移问题的几种方法,使大家能 够全面、准确地认识极值点偏移问题,掌握其 解题技巧和方法,并且根据题目的特点,选择 合适的方法,化难为易、化繁为简。 一、极值点偏移的定义 已知函数y=f(x)是连续可导函数,在 区间(a,b)内只有一个极值点x0,f(x1)= f(x2),且x0 在x1 与x2 之间,由于函数在 极值点左右两侧的变化速度不同,导致函数 图像不对称,使得极值点偏向变化速度快的 一侧,常常有x0≠ x1+x2 2 这种情况,称为极 值点偏移。 若x0< x1+x2 2 ,则称函数y=f(x)在区 间(x1,x2)上极值点x0 向左偏移,简称极值 点左偏;若x0> x1+x2 2 ,则称函数y=f(x) 在区间(x1,x2)上极值点x0 向右偏移,简称 极值点右偏。 二、极值点偏移问题的解题方法 例 1 f(x)=xln x-2ax2+x,a∈ R,若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:x1+ x2> 1 2a 。 证明:因为f(x)有两个极值点x1,x2, 所以f'(x)=ln x-4ax+2有两个零点x1, x2。 令g(x)=ln x-4ax+2,则g'(x)= 1 x-4a= 1-4ax x 。 分析可知a>0。 当x∈ 0, 1 4a 时,g'(x)>0,g(x)单调 递增;当x∈ 14a ,+∞ 时,g'(x)<0,g(x) 单调递减。 不妨令0<x1< 1 4a<x2 。 方法一(对称化构造): 要证x1+x2> 1 2a ,即证x2> 1 2a-x1 ,也 即证g(x1)=g(x2)<g 1 2a-x1 ,g(x1)- g 1 2a-x1 <0。 令h(x)=g(x)-g 1 2a-x ,x∈ 0, 1 4a ,则h'(x)=g'(x)+g' 12a-x = 1 x-4a+ 1 1 2a-x -4a= 1 2a x 12a-x -8a> 1 2a x+ 12a-x 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2-8a= 1 2a 1 16a2 -8a=0。 所以h(x)在 0, 1 4a 上单调递增,h(x)< 32 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年2月 h 14a =g 14a -g 14a =0,得证。 点评:利 用 对 称 化 构 造 处 理x1+x2> 2x0,需要注意一般变形为x2>2x0-x1,即 移动范围比较小的x1,然后构造关于x1 的 函数h(x1)。比如对于本题,若将x1+x2> 1 2a 变形为x1> 1 2a-x2 ,当x2∈ 1 2a ,+∞ 时,则 1 2a-x2<0 ,不能构造对应的函数,需要对x2 进行分类讨论,比较烦琐。 方法二(比值消参): 由题意知 ln x1-4ax1+2=0, ln x2-4ax2+2=0。 故ln x1-ln x2=4a(x1-x2),即ln x1 x2 =4a(x1-x2)。 令t= x1 x2 ,t∈(0,1),则x1=tx2,ln t= 4a(t-1)x2。 解得 x2= ln t 4a(t-1) , x1= tln t 4a(t-1) 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 要证 x1+x2> 1 2a ,即 证 (t+1)ln t 4a(t-1)> 1 2a ,也 即 证ln t< 2(t-1) t+1 ,需 证ln t- 2(t-1) t+1 <0 。 令h(t)=ln t- 2(t-1) t+1 ,t∈(0,1)。 则h'(t)= 1 t - 2(t+1)-2(t-1) (t+1)2 = 1 t- 4 (t+1)2 = (t-1)2 t(t+1)2 >0。故h(t)在(0, 1)上单调递增,h(t)<h(1)=0,结论得证。 点评:对于与对数有关的极值点偏移问 题,一般使用比值消参法,其目的是消参,所 以先根据已知条件构造极值点具有的等式关 系,然后作差。 方法三(对数均值不等式): 由题意知 ln x1-4ax1+2=0, ln x2-4ax2+2=0。 故ln x1-ln x2=4a(x1-x2)。 则 x1-x2 ln x1-ln x2 = 1 4a< x1+x2 2 ,x1 + x2> 1 2a 。下面证 x