07 数列递推公式在求通项公式中的应用-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

■秦皇岛市第一中学 王 珊 递推公式是表示数列的一种方法,它揭 示了相邻项之间的关系,而项与项数之间的 关系比较隐蔽,因此蒙上了一层神秘的面纱, 给同学们的学习带来一定的困难。将隐形的 递推关系转换为显性的递推关系式是求解数 列通项公式的关键。在解决实际的数列问题 时,需要同学们掌握等差与等比数列的定义 及辨别方式等基础性知识,灵活运用归纳法、 累加法、累乘法、待定系数法等方法,进而提 升大家的逻辑思维能力。 一、归纳法 根据递推公式计算出数列的某些项,观 察其特征,找出相应的规律,归纳出一般性的 结论并加以证明,进而解决问题。 例 1 在数列{an}中,a1= 1 2 ,an=1- 1 an-1 (n≥2,n∈N*),则a2 024= 。 解析:a2=1- 1 a1 =1-2=-1,a3=1- 1 a2 =1+1=2,a4=1- 1 a3 =1- 1 2= 1 2 。 数列{an}是以3为周期的周期数列,故 a2 024=a2+674×3=a2=-1。 点评:此类题型,一般可以通过解出前几 项,发现其规律,或者确定数列的周期,从而 确定数列的通项公式。 二、累加法 形如an+1=an+f(n),可转化为an+1- an=f(n),进而求出(an-an-1)+(an-1- an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,即得 数列{an}的通项公式。 例 2 已知数列{an}满足an+1=an+ 2×3n+1,a1=3,求数列{an}的通项公式。 解析:由an+1=an+2×3n+1,得an+1- an=2×3n+1。 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+ (a3-a2)+(a2-a1)+a1 =(2×3n-1+1)+(2×3n-2+1)+…+ (2×32+1)+(2×31+1)+3 =2×(3n-1+3n-2+ …+32+31)+ (n-1)+3 =2× 3(1-3n-1) 1-3 + (n-1)+3 =3n-3+n-1+3 =3n+n-1。 所以an=3n+n-1。 点评:累加法是通过相加抵消中间项,然 后整理求通项。解本题的关键是把递推关系 式an+1=an+2×3n+1转化为an+1-an= 2×3n+1,进而求出an=(an-an-1)+(an-1- an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,最后 求得数列{an}的通项公式。 三、累乘法 把递推关系式an+1=f(n)an(n≥2)转化为 an+1 an =n+1(n≥2),进而求出 an an-1 ·an-1 an-2 ·…· a3 a2 ·a2,从而可得当n≥2时,an 的表达式,最后 求出数列{an}的通项公式。 例 3 (2022年新高考Ⅰ卷第17题) 记Sn 为数列{an}的前n 项和,已知a1=1, Sn an 是公差为13的等差数列,求数列{an}的 通项公式。 解析:已知a1=1,则S1=a1=1, S1 a1 =1。 12 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年2月 又因为 Sn an 是公差为13的等差数列,所 以 Sn an =1+ 1 3 (n-1)= n+2 3 ,Sn= (n+2)an 3 。 当n≥2时,Sn-1= (n+1)an-1 3 。 因 此,an =Sn -Sn-1 = (n+2)an 3 - (n+1)an-1 3 。 整理得(n-1)an=(n+1)an-1,即 an an-1 = n+1 n-1 。 故an=a1× a2 a1 × a3 a2 ×…× an-1 an-2 × an an-1 = 1× 3 1× 4 2× …× n n-2× n+1 n-1= n(n+1) 2 。 显然此式对于n=1也成立。 故{an}的通项公式an= n(n+1) 2 。 点评:累乘法是通过相乘抵消中间项,同 时另一侧在相乘的过程中能够约分化简。利 用等差数列的通项公式求得 Sn an =1+ 1 3 (n- 1)= n+2 3 ,得到Sn= (n+2)an 3 。利用和与项 的关 系 得 到 当 n≥2时,an=Sn-Sn-1= (n+2)an 3 - (n+1)an-1 3 ,进 而 得 到 an an-1 = n+1 n-1 ,利用累乘法求得an= n(n+1) 2 ,检验当 n=1时也成立,得到{an}的通项公式an= n(n+1) 2 。 四、待定系数法 由an+1=pan+q(p,q 为常数且p≠1, q≠0)和a1 确定数列{an}的通项,这种数列 是直接引申等差数列或等比数列得到的数 列,如何求这种数列的通项呢? 摆在我们面 前的有两条路:其一是将其转化为等差数列, 其二是将其转化为等比数列。下面结合本题 条件来解答。