06 圆锥曲线点乘法的应用举例-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

圆锥曲线点乘法的应用举例 ■河南省沈丘县第一高级中学 刘 玉 在解析几何中,点差法是解决直线与圆 锥曲线位置关系常用的一种方法,即直线l 与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 将A,B 两点的坐标代入曲线方程,两式相减 整理即可得到直线l的斜率和弦中点之间的 关系式,如此可以减少运算量,优化解题过 程,实现“设而不求”的目的。那么两式相乘 能得到什么结论呢? 下面我们以焦点在x 轴上的椭圆为例进 行探究。 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上不同的两点,则: x21 a2 + y21 b2 =1, x22 a2 + y22 b2 =1。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 两式相乘得 x21 a2 + y21 b2 x 2 2 a2 + y22 b2 =1。 整理可得 x21x22 a4 + x21y22+x22y21 a2b2 + y21y22 b4 = x1x2 a2 + y1y2 b2 2 + (x1y2-x2y1)2 a2b2 =1。 其中S△AOB= 1 2|OA →|·|OB→|·sin∠AOB = 1 2|OA →|·|OB→|· 1-cos2∠AOB = 1 2|OA →|·|OB→|· 1- OA →·OB→ |OA→|·|OB→| 2 = 1 2 (|OA→|·|OB→|)2-(OA→·OB→)2 = 1 2 x 2 1+y21 · x22+y22 - x1x2+y1y2 2 = 1 2|x1y2-x2y1| 。 可以发现,将两点坐标代入椭圆方程,所 得两 式 直 接 相 乘,式 子 中 会 出 现x1x2 a2 + y1y2 b2 ,|x1y2-x2y1|,而|x1y2-x2y1|又是 一个和△AOB 的面积有关的表达式。 进一步发现,若x1x2 a2 + y1y2 b2 =0(或者 kOA·kOB= y1y2 x1x2 =- b2 a2 ),则S△AOB= 1 2ab 。 若将两点坐标代入椭圆方程,移项后再 将所得两式相乘,又会出现什么情况呢? 移项可得 x21 a2 =1- y21 b2 , x22 a2 =1- y22 b2 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 两式相乘得 x21x22 a4 =1- (y21+y22) b2 + y21y22 b4 。 若 x1x2 a2 + y1y2 b2 =0,代入上式可得y21+ y22=b2。 此 时 x21 + x22 = a2 1- y21 b2 + a2 1- y22 b2 =a2。 |OA|2+|OB|2=(x21+y21)+(x22+y22) =a2+b2。 同理,将 y21 b2 =1- x21 a2 , y22 b2 =1- x22 a2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 两式相乘得 y21y22 b4 =1- (x21+x22) a2 + x21x22 a4 ,整理化简也可证明 |OA|2+|OB|2=a2+b2。 那么,双曲线中是否有类似结论呢? 下 面以焦点在x 轴上的双曲线为例进行探究。 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)上不同的两点,则: x21 a2 - y21 b2 =1, x22 a2 - y22 b2 =1。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 两式相乘得 x21 a2 - y21 b2 x 2 2 a2 - y22 b2 =1。 整理可得 x21x22 a4 - x21y22+x22y21 a2b2 + y21y22 b4 = 81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年2月 x1x2 a2 - y1y2 b2 2 - (x1y2-x2y1)2 a2b2 =1。 x21 a2 =1+ y21 b2 , x22 a2 =1+ y22 b2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 两 式 相 乘 得 x21x22 a4 =1+ (y21+y22) b2 + y21y22 b4 。 在双曲线中利用点乘法虽然无法得到和 椭圆类似的结论,但相乘之后所包含的项相 同,均涉及S△AOB、x21+x22、y21+y22,因此,当 题目中出现这些式子时,可以尝试从点乘法 入手寻找解题思路。 下面通过举例,对几道典型的例题进行 剖析,以便同学们灵活掌握解决此类问题的 思路和方法。 例 1 已知椭圆E:x 2 4+ y2 3=1 ,直线l与 椭圆E 交于A、B 两点,O为坐标原点,若kOA· kOB=- 3 4 ,则△AOB 的面积是否为定值? 如果 是,求出该定值;如果不是,请说明